JEUX ÉVOLUTIONNAIRES



THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION

1. Représentatives

1.1. Forme extensive d'un jeu

1.2. Forme extensive d'une décision

1.3. Forme normale d'un jeu

1.3.1. Jeux répétitifs

1.1. Forme ensembliste d'un jeu

1.2. Forme graphique d'un jeu

2. Jeux coopératifs et non-coopératifs

2.1. Optimum de Pareto

2.2. Equilibre de Nash

2.3. Utilité espérée

2.3.1. Critère d'Hurwitz

2.3.2. Critère de Laplace

3. Jeux évolutionnaires

4. Equilibre de Cournot

5. Chaîne de Markov

Les stratégies de l'évolution biologique comme nous en avons fait mention au début de ce chapitre peut être modélisée à l'aide de la théorie des jeux. Dans ce cadre, le biologiste est amené à définir des relations remarquables définissant une stratégie d'évolution donnée (dominance, stagnation, suicide).

Définition: Une "stratégie évolutionnaire stable (SES)" (ou "evolutionary stable strategy" ESS) est une stratégie adoptée par la majorité et empêchant qu'une population soit envahie par un mutant qui recourrait à une stratégie différente.

Cette stratégie s'écrit sous la forme d'une condition de stabilité tel que soit deux stratégies equation de deux joueurs nous ayons :

equation   (50)

ou (si cette dernière n'apparaît pas) par la simultanéité des deux stratégies de non sélection et suicide :

equation et equation   (51)

- La première relation signifie qu'en aucun cas un individu n'a à changer de stratégie pour se défendre contre une évolution mutante ayant la même stratégie que lui car toute autre lui serait défavorable.

- La deuxième relation signifie que quelque soit la stratégie optée contre une stratégie mutante, il y aura stagnation.

- La troisième relation signifie que contre equation, toute stratégie différente de equation est préférable pour contrer equation même. Autrement dit, appliquer une stratégie equation différente de equation est suicidaire (le cas contraire ne l'est donc pas!).

exempleExemple:

Voyons un jeu connu Faucons (Hawk) contre Colombes (Dove).

Ce jeu vise à modéliser les rapports entre individus en compétition pour une ressource rare, c'est-à-dire dont le degré d'adaptation va être modifié à la fois par l'obtention de cette ressource et par les violences qu'ils subiront ou infligeront pour l'obtenir.

Dans leurs interactions compétitives, les organismes recourent à deux types de comportements/stratégies : la stratégie du faucon et celle de la colombe. Le faucon intensifie le conflit jusqu'à ce qu'il soit blessé ou jusqu'à ce que l'autre batte en retraite. La colombe se retire après une première démonstration de force si l'adversaire choisit d'intensifier le conflit. Lorsque deux faucons se rencontrent, l'un est blessé et l'autre emporte la ressource. Si un faucon affronte , il s'empare de la ressource sans danger d'être blessé et la colombe n'obtient ni avantage ni dommage. Enfin, deux colombes se partagent également la ressource.

Nous posons également les hypothèses suivantes :

H1. Les affrontement se déroulent un à un

H2. La population est infinie

H3. Les recontres sont aléatoires

H4. Les combats sont symétriques (au sens où ni l'age, ni la taille, ni l'expérience n'influent sur l'issue du combat)

H5. Il est impossible de savoir avant le début d'un conflit quellle stratégie un animale adoptera.

Sur la base de ces règles d'interaction (assez loin de la réalité...), il est possible de construire le tableau du jeu qui nous permettra de calculer les avantages ou les désavantages des diverses stratégies selon les circonstances.

Ainsi le tableau de jeu est le suivant :

J1 / J2

H

D

H

(V-C)/2 , (V-C)/2

V , 0

D

0, V

V/2 , V/2

Tableau: 20  - Matrice d'un jeu évolutionnaire

Comme il s'agit d'un jeu à somme nulle, nous pouvons le simplifier :

J1 / J2

H

D

H

(V-C)/2

V

D

0

V/2

Tableau: 21  - Demi-matrice simplifiée du jeu évolutionnaire

Nous notons ici V l'avantage qu'un organisme retire de l'obtention de la ressource. V désigne non la ressource elle-même, mais l'accroissement du degré d'adaptation qu'elle procure à l'organisme qui l'obtient. C correspond au coût payé, mise en danger ou blessure, pour acquérir la ressource.

D'abord explicitons la manière avec laquelle il faut lire ce tableau :

1. Pour la stratégie (D, D) - tout le monde est gentil avec tout le monde - le gain total des deux individus est :

equation   (52)

La population restera donc constante (c'est la stagnation).

Bref, deux colombes se partagent à l'amiable la valeur de la ressource.

2. Pour les stratégies equation les "colombes" D sont toujours perdantes (elles ne progressent pas dans leur évolution). Leur gain est nul alors que les "faucons" auront éliminé le nombre V de colombes (d'où le gain).

3. Pour la stratégie equation les "faucons" supportent une perte du type equationC est une constante et telle que la somme des gains des faucons est normalement inférieur à V. Autrement dit :

equation   (53)

Bref, lorsqu'un faucon en affront un autre, il obtient en moyenne une fois sur deux la valeur de la ressource diminumé du prix encouru pour l'obtenir.

Remarque: Ce jeu peut-être vu comme un jeu de guerre entre deux joueurs... l'interprétation des résultats sont dès lors plus que pertinents.

Nous devons maintenant considérer deux stratégies :

1. L'étude du jeu de manière globale en stratégie pure (sans probabilités donc)

2. L'étude du je de manière globale en stratégie mixte (faisant intervenir les probabilités)

Commençons par le premier en considérant les configurations equation :

- Si equation, en choisissant equation (qui est dès lors l'équilibre de Nash strict du jeu) nous pouvons observer que la jeu sera du type évolutionnaire stable (SES). Effectivement, nous retrouvons la relation :

equation   (54)

ce qui correspondant bien à :

equation   (55)

et nous pouvons aussi observer qu'il existe aussi une stratégie faiblement dominante (pas de sélection naturelle) dans :

equation   (56)

correspond bien à :

equation   (57)

Mais celle-ci ne sera pas adoptée puisque moins forte que l'équilibre de Nash.

- Si equation, le jeu est aussi du type SES. Effectivement, (H, H) devient une stratégie faiblement dominante :

equation   (58)

ce qui correspondant bien à equation et il n'y a dès lors pas d'évolution et nous pouvons aussi observer qu'il y a aussi :

equation   (59)

correspondant à :

equation   (60)

Puisque nous avons simultanément :

equationet equation   (61)

lorsque equation le jeu est une SES.

- Si equation, ni H, ni D ne sont des stratégies dominantes et nous n'avons pas de SES :

equation   (62)

et :

equation   (63)

ces deux dernières relations correspondant toutes equation . C'est plutôt embêtant... c'est une sorte de suicide collectif.

Remarque: Ces deux dernières relations nous amènent à observer que les faucons ne voudront pas forcément révéler aux autres faucons leur stratégie de prédateurs de colombes, puisque : toute stratégie vaut mieux être contrée par une autre stratégie plutôt que par elle-même. Ils préfèrent peut-être discuter entre eux ce qui amène au fait que le jeu est dès lors non-coopératif.

Cherchons maintenant à l'aide de l'étude en stratégie mixte ce que nous pourrions faire pour amener la dernière configuration précédente à un ESS (relativement à la dernière configuration equation afin de voir de plus près ce que nous pouvons faire pour éviter cela) :

Nous considérons une population d'individus qui jouent une donc une stratégie mixte que nous noterons pour chacun :

equation   (64)

avec equation et :

equation   (65)

Si equation (stratégie pure), nous aurons dès lors :

equation   (66)

reprenons maintenant l'études des trois configurations :

equation   (67)

1. Si equationavec equation nous avons toujours avec equation :

equation   (68)

en d'autres termes, la stratégie sera toujours du type évolutionnaire stable (SES) si equation est une stratégie pure et ce même si equation peut varier et s'approcher de equation.

2. Si equationavec equation nous avons toujours avec equation :

equation et equation   (69)

en d'autres termes, la stratégie sera toujours du type non sélective si equation est une stratégie pure et ce même si equation peut varier et s'approcher de equation.

3. Si equationet equation, nous laissons tomber equation pour ne s'intéresser qu'à la généralisation equation. Nous avons alors :

equation   (70)

Effectivement :

equation   (71)

De même :

equation   (72)

Effectivement :

equation   (73)

Et nous aimerions arriver à une SES en stratégie mixte. Cela est-il possible ?

Dans le cadre d'un stratégie mixte, nous avons démontré lors de l'étude d'un jeu à somme nulle que l'équilibre mixte était donné par :

equation   (74)

Il est donc assez évidant que pour un jeu qui n'est pas à somme nulle nous ayons l'équilibre mixte quoi soit donné par :

equation   (75)

Dès lors, cherchons la relation entre P, C, V tel que cet équilibre soit atteint :

equation   (76)

En connaissant les utilités :

equation   (77)

d'où nous tirons que l'équilibre en stratégie mixte est donnée par :

equation   (78)

et donc que l'équilibre est donné par la stratégie mixte :

equation   (79)

A quoi cette stratégie va-t-elle mener ? Eh bien simplement dans le cas suicidaire cette stratégie mixte est la meilleure réponse contre elle-même (c'est ce qu'il est possible de faire de mieux dans ce qu'il y de pire) car elle amène aux deux conditions qui satisfont une SES.


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