JEUX COOPÉRATIFS ET NON-COOPÉRATIFS
THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION
1. Représentatives
1.1. Forme extensive d'un jeu
1.2. Forme extensive d'une décision
1.3. Forme normale d'un jeu
1.3.1. Jeux répétitifs
1.1. Forme ensembliste d'un jeu
1.2. Forme graphique d'un jeu
2. Jeux coopératifs et non-coopératifs
2.1. Optimum de Pareto
2.2. Equilibre de Nash
2.3.1. Critère d'Hurwitz
2.3.2. Critère de Laplace
5. Chaîne de Markov
Une première approche (sans faire usage des maths dans un premier temps) de cette attitude d'esprit (forme de jeu) est accessible à de jeunes enfants (sans qu'ils le sachent!).
Exemple:
Imaginons deux enfants, l'un et l'autre gourmands, en présence d'un gâteau homogène, parfaitement divisible (et très bon...). Si la maman fait deux parts, il y aura immanquablement des disputes, chacun trouvant plus grosse la part de l'autre. Le seul moyen (hors dictat) d'éviter toute dispute est pour la mère d'imposer la règle suivante : l'un des enfants effectue le partage, et l'autre choisit en premier sa part. Celui qui coupe ne peut pas raisonner en tenant compte de ses seules préférences, qui le pousseraient à se couper une grosse part. Il sait en effet que l'autre pourra choisir sa part. Si donc il coupe une part plus grosse que l'autre, il risque de la retrouver dans l'assiette du voisin. Il va donc s'efforcer de couper des parts aussi égales que possibles, à ses yeux. Ainsi, quel que soit le choix de l'autre, il ne s'estimera pas maltraité. C'est cette anticipation du choix d'un autre décideur qui constitue l'originalité de la théorie de la décision et de la coopération !
Définitions:
D1. La partie de la théorie des jeux qui s'occupe de la détermination des éléments socialement préférables (au niveau du groupe plutôt que de l'individu seul en d'autres termes) de l'ensemble des issues I est souvent dite "coopérative" ou "coalitionnelle". Elle nécessite que les différentes parties puissent communiquer entre elles et... qu'elles soient rationnelles.
D2. La partie dite, au contraire, "non coopérative" ou "stratégique" ne s''intéresse pas à la mise en oeuvre des solutions préconisées par la théorie des jeux coopératifs qui ont force de loi. Elle suppose que les différentes parties en communiquent pas entre elles ou ne sont pas rationnelles.
Cette distinction entre jeux coopératifs et jeux non-coopératifs prête souvent à confusion. Essayons de la dissiper pour partie. Tout d'abord, cette distinction ne signifie nullement que les comportements que nous concevons intuitivement comme "coopératifs", au sens où ils induisent une part de sacrifice de nos intérêts propres au profit d'un bien jugé supérieur, ne pourront apparaître que dans le cadre des jeux coopératifs, au contraire! Les jeux stratégiques se soucient beaucoup de l'apparition endogène de tels comportements. Inversement, les jeux coopératifs sont très attentifs au respect des intérêts des individus. C'est là d'ailleurs l'une des difficultés principales qu'il leur faut affronter : si sacrifice individuel pour le bien commun il doit y avoir, qui doit se sacrifier ? Et pourquoi tel individu plutôt qu'un autre ?
Une fois
défini l'ensemble I unanimement considéré comme représentant
toutes les issues possibles du problème que nous cherchons à résoudre,
il nous faut déterminer des
critères qui permettent de sélectionner le "meilleur"
état possible, compte tenu des appréciations diverses et contradictoires
dont
fait l'objet par les différents citoyens en présence.
Nous savons
que cette appréciation se mesure au moyen de la fonction d'utilité
définie sur I et prenant ses valeurs dans
.
Ainsi, si le système que nous considérons comporte
individus et si
est
l'issue sélectionnée,
est
la gain accordé par le joueur i à
x.

OPTIMUM DE PARETO
Un premier critère qui vient à l'esprit, et qui est dû au sociologue italien Vilfredo Pareto, est celui de l'optimalité qui porte son nom (à ne pas confondre avec la "loi de Pareto" concept complétement empirique en économie comme quoi la plupart des répartitions se font selon un rapport 20/80% - cf . chapitre de Techniques De Gestion).
Considérons deux issues x et y, appartenant toutes deux à I, et supposons que, pour chaque individu i, nous ayons la situation suivante:
(33)
En d'autres termes, aucun individu ne serait à priori lésé si nous substituions à chacun l'état y à l'état x . Supposons de surcroît, qu'il existe au moins une personne j qui préfère strictement y à x tel que :
(34)
Dans ces conditions, nous ne voyons plus vraiment ce qui devrait retenir le législateur de choisir y plutôt que x.
Défintion : Une issue i réalisable qui n'admet aucune "amélioration" est appelée un "optimum de Pareto" (O.P.) et est définie rigoureusement par :
(35)
La "pareto-optimalité" est à comprendre comme une condition sine qua non, un "minimum minimorum", sans lequel le concept de solution d'un jeu coopératif que nous cherchons à élaborer devrait être automatiquement rejeté.
ÉQUILIBRE DE NASH
Définition: "L'équilibre de Nash" (ou "équilibre" tout court) décrit une issue d'un jeu dans lequel aucun joueur n'a intérêt à modifier sa stratégie unilatéralement, compte tenu des stratégies des autres joueurs.
Soit un
jeu à n joueurs, et
une combinaison de choix stratégiques de ces n joueurs
où
est
le meilleur choix stratégique du joueur i
et avec
,
l'ensemble des stratégies praticables par le joueur i.
Soit
le gain du joueur i lorsque
est
sélectionné.
Une combinaison
de choix stratégiques est
un équilibre de Nash si et seulement si:
(36)
pour tout dans
et
tout i.
Interprétation: aucun joueur
ne peut bénéficier d'une déviation de ,
quelle que soit la stratégie qu'il choisisse dans son ensemble
.
Ainsi, aucun
joueur n'a intérêt à dévier, et
est
un
équilibre
Définition: Quand
la stratégie d'un joueur
est la meilleure réponse face à toutes les stratégies
possibles de ses rivaux,
nous parlons alors de "stratégie
dominante" (cette
stratégie
domine toutes les autres stratégies du joueur). L'équilibre de
ce jeu est alors appelé "équilibre
en stratégie dominante".
In extenso, une stratégie est "dominée" si elle procure au joueur des gains toujours inférieurs à ceux associés à au moins une autre de ses stratégies.
Méthode : Une manière de déterminer les équilibres d'un jeu consiste à éliminer en premier toutes les stratégies dominées puis à rechercher les équilibres dans le jeu ainsi réduit.
Exemple:
En éliminant les stratégies dominées (mêmes faiblement dominées) pour chacun des joueurs, nous tombons sur (6 , 4) qui est comme nous le voyons un équilibre de Nash (car c'est celle où aucun joueur n'a intérêt à changer de stratégie).
J1 / J2 |
S1 |
S2 |
S3 |
S1 |
5 , 2 |
4 , 4 |
6 , 4 |
S2 |
3 , 1 |
2 , 0 |
5 , 2 |
Le jeu suivant par contre, ne comporte pas d'équilibre de Nash. Effectivement, quelque soit le couple de stratégies envisagé, l'un des joueurs obtient toujours plus en modifiant son choix.
J1 / J2 |
S1 |
S2 |
S1 |
1 , 0 |
0 , 1 |
S2 |
0 , 1 |
1 , 0 |
Toutefois, pour le moment il apparaît pour le moins prématuré de prescrire aux joueurs le choix d'un équilibre; certes s'il est choisi, la situation a une certaine stabilité, mais il reste trois difficultés :
1. Nous ne sommes pas assurées de l'existance d'un couple de tactiques en équilibre (conjonction des tactiques prudentes)
2. Même en cas d'existence, nous ne sommes pas assuré de l'unicité d'un couple de tactiques en équilibre
3. Même en cas d'existence et d'unicité, nous pouvons préscrire un autre choix (!!!!)
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