ÉQUILIBRE DE COURNOT



THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION

1. Représentatives

1.1. Forme extensive d'un jeu

1.2. Forme extensive d'une décision

1.3. Forme normale d'un jeu

1.3.1. Jeux répétitifs

1.1. Forme ensembliste d'un jeu

1.2. Forme graphique d'un jeu

2. Jeux coopératifs et non-coopératifs

2.1. Optimum de Pareto

2.2. Equilibre de Nash

2.3. Utilité espérée

2.3.1. Critère d'Hurwitz

2.3.2. Critère de Laplace

3. Jeux évolutionnaires

4. Equilibre de Cournot

5. Chaîne de Markov

Imaginons deux propriétaires M et N, et deux sources dont les qualités sont identiques et qui se trouvent placées de manière à alimenter concurrement le même marché; de sorte que la quantité totale livrée au commerce se compose de la somme des quantités equation, equation livrées par chacun des propriétaires à un prix qui est nécessairement le même pour chacun d'eux puisqu'il n'y a aucun motif de préférer une source à l'autre. Ce prix se trouve déterminé quand la somme des quantités m,n l'est elle-même, à cause de la liaison qui existe entre le prix et la demande.  Admettons que le propriétaire N ait fixé arbitrairement, sans égard aux prix, la quantité n qu'il entend livrer: alors le proprétaire M fixera le prix de vente, c'est-à-dire la production totale (composée de la somme des quantités m et n), c'est-à-dire encore sa production equation de manière à se procurer le plus grand revenu possible.

Dans la pratique, une suite de tâtonnements et d'oscillations amènera les deux propriétaires à cette position d'équilibre, et la théorie montre que cet équilibre est stable: c'est-à-dire que si l'un ou l'autre des propriétaires, trompés sur ses intérêts véritables, vient à s'en écarter momentanément, il y sera ramené par une suite d'oscillations du genre de celle qui avaient primitivement abouti à constituer l'équilibre.

Nous allons mettre en place une situation de jeu à deux personnes. Nous poserons que le prix P est une fonction affine de la quantité totale produite:

equation   (80)

equation est une constante de normalisation des unités.

Nous supposerons égaux et fixes les coûts marginaux de production, représentés par le nombre equation, et nuls les coûts fixes, en sorte que le coût de production s'écrive respectivement equation et equation pour les deux sources.

Le modèle de Cournot pose que les deux entreprises fixent les quantités qu'elles produisent simultanément, ou, à tout le moins dans l'ignorance mutuelle de la tactique de l'autre.

Pour reconnaître un jeu sous forme normale, il ne nous reste plus qu'à reconnaître le gain retiré par chacun des adversaires pour tout couple equation de tactique afin de pouvoir si on le désire construire la matrice des gains.

Le profit de M est :

equation   (81)

et celui de N :

equation   (82)

La recherche d'un équilibre de Nash conduit chaque entreprise à choisir sa production pour maximiser son profit et minimiser ses coûts de stockage (voir modèle de Wilson), la production de son partenaire étant supposée connue.

Dans ce but, on annule la dérivée des deux fonctions précédentes :

equation   (83)

Système dont la résolution conduit très facilement à la détermination de :

equation   (84)

(resterait à vérifier que ce sont biens des maximums, en contrôlant les dérivées de deuxième ordre et non des extrêmums).

Le prix de vente dans le cadre d'un équilibre de Nash serait alors :

equation   (85)

et le profit de chaque entreprise :

equation   (86)

Ces calculs sont à rapprocher du raisonnement purement économique, pour lequel chaque entreprise aimerait être seule, en monopole sur le marché. Le profit de l'entreprise M en situation de monopole serait:

equation   (87)

ce qui met en évidence la maximum, atteint pour (on cherche où la dérivée s'annulle):

equation   (88)

Ainsi, on voit très bien que la quantité produite en cas de monopole est plus grande qu'en cas de monopole et que le profit ainsi que les prix sont plus élevés.

L'idée serait maintenant, si l'on reveint à nos deux entreprises, qu'un accord soit établi (cas appelé "entente olipote" contre la concurrence et qui est interdit par la loi), qui leur partage ce profit majoré. La parfaite symétrie des situations conduirait au partage par moitiès. Mais la difficulté vient du fait que la décision de produire:

equation   (89)

n'est pas la meilleures réponse à produire la même quantité de l'adversaire en sorte que chacun soit incité à trahir l'accord de l'autre. Ainsi, le meilleur équilibre est celui de Nash qui impose:

equation   (90)

Lors de la mise au point d'une entente ou d'un cartel, on peut distinguer plusieurs nvieaux qui dépendent du degré de précision des règles fixées par l'ensemble des entreprises.

Le premier cas est celui qu'on peut appeler "l'entente parfaite"; c'est l'entente qui permet de maximiser le profit total des entreprises concernées. Une condition mathéamtique élémentaire est que toutes les entreprises doivent fonctionner avec le même coût marginal. En effet, la maximisation du profit total d'un ensemble d'entreprises s'écrit de la manière suivante:

 equation   (91)

où rappellons-le equation

Ce profit est maximum quand toutes les dérivées partielles d'ordre 1 sont nulles et maximales (condition dites du "premier ordre"). Soit:

equation   (92)

La partie de gauche de la deuxième relation exprime la variation de recette totale provoquée par une petite variation de la quantité produite par le producteur i, et la partie droite exprime la variation de coût engendrée par la même variation de equation (coût marginal du producteur i). La recette marginale provoquée par une variation donnée de production q est la même, que que soit le producteur qui a modifié sa production. En effet, l'influence d'une production additionnelle sur l'offre totale et sur le prix est identique, que cette production additionnelle vienne d'un producteur ou d'un autre.

Mais comme on l'a vue dans le duopoloe de carnot, ce type d'égalité admet un profit total maximum à condition que toutes les entreprises de l'entente aient leur coût marginal au même niveau, correspondant à la recette marginale du marché. Cette condition d'égalité est certainement pas une condition facile à remplir dans la réalité des ententes.

CHAÎNES DE MARKOV

Comme nous l'avons mentionné dans le chapitre de Probabilités, les chaînes de Markov sont aussi utilisées dans le domaine des techniques de décision. Le cas d'utilisation le plus fréquent des chaînes de Markov dans l'industrie est le milieu de la pharma-économie (analyse des coûts de traitements des malades) qui passe avant, d'après notre expérience, le domaine de la finance et de l'ingénierie.

Par exemple la chaîne de Markov simple suivante relative à un symptome particulier, a une étape dite "état absorbant" connue par tous dont il n'est pas possible de réchapper à ce jour...:

equation
  (6.93)

Dont voici la chaîne de Markov décomposée sur 20 cycles comme le présentent traditionnelement le domaine médical (cela suppose que les probabilité ne change pas au cours du temps...):

equation
  (6.94)

Evidemment il est possible d'effectuer le même calcul directement sous forme matricielle... à nouveau la matrice de transition (matrice stochastique) est simple à identifier. Il s'agit de (cf. chapitre de Probabilités):

equation   (6.95)

Le vecteur de probabilités initiales p(0) vaut bien évidemment dans les cas les plus courants de maladie...:

equation   (6.96)

A chaque fois que nous multiplions la transposée de la matrice de transition par le vecteur de probabilités initiales, nous obtenons donc la probabilité d'être à un étant donné, à un cycle donné!:

equation   (6.97)

Avec MS Excel, la modélisation est assez simple à reproduire:

equation
  (6.98)

Soit avec les formules:

equation
  (6.99)

Si nous continuons ainsi jusqu'au 20ème cycle:

equation
  (6.100)

Il est très courant dans les entreprises de synthétiser l'évolution sous forme graphique (plus parlant pour la direction...):

equation
  (6.101)

Nous voyons donc que l'état "mort" est bien un état absorbant car toute la probabilité y converge. Nous voyons également que l'espérance de vie totale est de 4.99 cycles. Si nous assimilons un cycle à une année, alors l'espérance de vie est 4.99 années. Nous voyons immédiatement que la mesure stationnaire de la chaîne (cf. chapitre de Probabilités) est donc:

equation  (6.102)