Cours sur les techniques de gestion
1. Diagramme de Pareto/Lorenz
1.1. Indice de Gini
2. PERT Probabiliste
4. Contrôle statistique des salaires
5.1. Stock initiale optimal
5.2. Modèle de Wilson
6.1. Amortissement linéaire
6.2. Amortissement arithmétique dégressif
6.3. Amortissement géométrique dégressif
6.4. Choix d'investissement
6.4.1. Valeur actuelle nette
6.4.2. Taux de rentabilité interne
6.4.3. Délai de récupération et d'amortissement
7. Théorie des files d'attentes M/M/...
7.1. Modélisation des durées d'arrivées M/M/...
7.2. Modélisation des durées de service M/M/...
7.3. Notation de Kendall
7.4. Modélisation des arrivées et départs M/M/1
7.5. Probabilité de mise en attente M/M/k/k (formule d'Erlang B)
7.6. Probabilité de mise en attente M/M/k/8(formule d'Erlang C)
8.1. Calcul de prime
8.2. Prise en compte de l'expérience
L'objectif de ce chapitre est d'introduire aux principales techniques mathématiques de production et de gestion, de maintenance et de qualité dont l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs, gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs, c'est un excellent chapitre pour la culture générale du physicien ou du mathématicien... et un acquis pour l'ingénieur!
Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées ici car ayant déjà été démontrées dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques de gestion font un énorme usage des statistiques (dites "statistiques descriptives" dans le domaine), de la théorie de la décision, de la théorie des graphes ainsi que de l'économétrie (en particulier le VAN, le R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres entiers y étant déjà consacrés sur ce site il serait redondant d'y revenir.
Indiquons avant de commencer que malgré son importance intrinsèque les techniques quantitatives de gestion (incluant aussi la recherche opérationnelle et la modélisation par Monte-Carlo vues dans le chapitre d'Informatique Théorique ainsi que Six Sigma vu dans le chapitre de Génie Industriel et la Théorie de la Décision) sont encore peu utilisées dans le monde industriel, soit à cause du manque d'(in)formation des décideurs (excepté dans le domaine de la finance), soit par le manque de pertinence de l'outil ou sa difficulté de mise en œuvre. Les principales craintes émises par les décideurs quant à l'application de modèles mathématiques dans l'entreprise sont :
1. Une prise en compte limitée des facteurs: Pour les questions stratégiques, la réponse pure et parfaite d'une solution mathématique semble rarement applicable de facto. Même si les techniques quantitatives intègrent beaucoup de facteurs, si certains aspects sont relativement faciles à modéliser au sens mathématique du terme (le coût, la rentabilité, la distance, la durée, la cadence, par exemple), d'autres éléments sont en revanche plus difficiles à modéliser : contraintes légales, volonté commerciale de faire barrage à un concurrent, importance des relations avec les élus, climat social, etc. Le poids de ces éléments dans la décision est pourtant important, parfois déterminant.
2. Un investissement important: L'outil mathématique lui-même exige un niveau élevé de connaissances mathématiques, une bonne aptitude à modéliser les problèmes et décrire les facteurs. Ces contraintes sont consommatrices de beaucoup de temps et d'une certaine somme d'argent (que ce soit par développement interne, qui consomme des ressources - ou par développement externe, qui consomme de l'argent). Il est alors nécessaire de trouver un équilibre entre l'investissement nécessaire et les retombées prévues.
3. Pour des événements peu fréquents: L'entreprise ne bénéficie pas de l'effet d'expérience et donc d'une fois sur l'autre, le problème concerne un service différent, ou les responsables ont changé entre deux études. Il est donc difficile d'entretenir les compétences à l'intérieur de l'entreprise. Le décideur devra prendre ces différents aspects en compte lorsqu'il décidera ou non de mettre en œuvre des techniques quantitatives dans son entreprise.
Nous pouvons aussi argumenter que ce qui fait que les techniques scientifiques de gestion (TQG) ne soient guère répandues est que:
1. Dans un environnement peux exigeant le surcroît de puissance qu'offrent les TQG ne justifie pas forcément les efforts nécessaires à leur apprentissage.
2. Les TQG sont exigeantes en raisonnement et rigoureuses, elles ne peuvent donc convenir aux personnes qui ne connaissent ni l'un ni l'autre...
Diagramme de Pareto
Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen (entre autres) simple pour classer les phénomènes par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi souvent utilisée en entreprise comme base de simulation stochastique pour des variables aléatoires représentant des investissement chiffrés de projets (à peu près aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire, la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).
Rappelons alors qu'une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :
(1)
avec et
(donc
)
et pour l'espérance (moyenne) :

et l'écart-type:
(3)
Pour illustrer ce type de représentation, nous supposerons qu'une étude de réorganisation du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le directeur commercial à s'intéresser à la répartition des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau) reçus pendant une année donnée selon la ville où sont domiciliés les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties en 5 colonnes).
Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les gestionnaires, l'analyse quantitative étant réservée majoritairement aux ingénieurs.
Ces données sont reproduites dans le tableau ci-dessous :
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
8965 |
8965 |
240 |
40027 |
125 |
46378 |
88 |
50916 |
55 |
53752 |
4556 |
13520 |
236 |
40263 |
123 |
46862 |
87 |
51003 |
54 |
53806 |
3069 |
16589 |
224 |
40487 |
123 |
46985 |
87 |
51090 |
54 |
53860 |
2336 |
18925 |
223 |
40710 |
123 |
47108 |
86 |
51176 |
54 |
53914 |
1872 |
20796 |
220 |
40930 |
122 |
47229 |
85 |
51261 |
54 |
53968 |
1595 |
22391 |
215 |
41145 |
121 |
47350 |
85 |
51346 |
51 |
54018 |
1326 |
23718 |
213 |
41357 |
118 |
47468 |
84 |
51430 |
50 |
54068 |
1184 |
24902 |
212 |
41570 |
118 |
47586 |
84 |
51514 |
49 |
54116 |
1085 |
25987 |
202 |
41772 |
118 |
47705 |
82 |
51597 |
48 |
54164 |
934 |
26921 |
201 |
41972 |
117 |
47821 |
81 |
51678 |
47 |
54211 |
843 |
27764 |
200 |
42172 |
115 |
47936 |
79 |
51757 |
44 |
54255 |
747 |
28510 |
191 |
42363 |
114 |
48050 |
79 |
51835 |
43 |
54298 |
722 |
29232 |
190 |
42553 |
112 |
48162 |
78 |
51913 |
43 |
54340 |
710 |
29943 |
188 |
42741 |
112 |
48274 |
78 |
51990 |
42 |
54382 |
647 |
30589 |
185 |
42926 |
108 |
48383 |
77 |
52067 |
41 |
54423 |
631 |
31221 |
179 |
43105 |
108 |
48490 |
76 |
52144 |
40 |
54463 |
607 |
31828 |
173 |
43278 |
107 |
48597 |
74 |
52218 |
40 |
54503 |
539 |
32367 |
170 |
43448 |
106 |
48703 |
72 |
52290 |
38 |
54542 |
502 |
32868 |
161 |
43609 |
105 |
48808 |
72 |
52362 |
38 |
54580 |
462 |
33330 |
160 |
43769 |
102 |
48910 |
72 |
52434 |
37 |
54617 |
459 |
33790 |
158 |
43927 |
102 |
49012 |
71 |
52505 |
37 |
54654 |
422 |
34212 |
153 |
44080 |
102 |
49114 |
71 |
52576 |
36 |
54690 |
372 |
34584 |
153 |
44233 |
101 |
49215 |
70 |
52647 |
36 |
54726 |
362 |
34945 |
149 |
44382 |
100 |
49315 |
70 |
52716 |
35 |
54760 |
355 |
35300 |
149 |
44531 |
100 |
49415 |
67 |
52784 |
33 |
54793 |
347 |
35647 |
148 |
44679 |
99 |
49514 |
66 |
52851 |
32 |
54825 |
342 |
35989 |
147 |
44826 |
98 |
49612 |
66 |
52918 |
31 |
54856 |
338 |
36327 |
147 |
44972 |
98 |
49710 |
65 |
52983 |
28 |
54884 |
329 |
36656 |
147 |
45119 |
97 |
49807 |
64 |
53047 |
25 |
54909 |
314 |
36970 |
146 |
45265 |
96 |
49904 |
64 |
53110 |
21 |
54931 |
314 |
37283 |
146 |
45411 |
96 |
50000 |
64 |
53174 |
21 |
54951 |
310 |
37593 |
142 |
45553 |
96 |
50095 |
62 |
53236 |
20 |
54972 |
310 |
37903 |
140 |
45693 |
96 |
50190 |
60 |
53296 |
19 |
54991 |
301 |
38203 |
137 |
45829 |
93 |
50284 |
60 |
53356 |
19 |
55010 |
284 |
38755 |
137 |
45966 |
92 |
50376 |
58 |
53414 |
15 |
55025 |
268 |
38755 |
135 |
46101 |
92 |
50468 |
57 |
53471 |
13 |
55038 |
267 |
39022 |
131 |
46232 |
92 |
50559 |
57 |
53539 |
11 |
55049 |
265 |
39287 |
128 |
46360 |
91 |
50650 |
56 |
53585 |
11 |
55060 |
251 |
39538 |
127 |
46487 |
90 |
50740 |
56 |
53641 |
8 |
55068 |
249 |
39787 |
126 |
46613 |
88 |
50828 |
56 |
53697 |
6 |
55074 |
où les 200 valeurs ni (nombre de bons de commande en provenance d'une ville i) ont été classées par valeurs décroissantes et cumulées dans une colonne Ni.
La première ville se caractérise par 8'965 bons de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons), la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à 30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène consiste à dire : 0.5% des villes (classées par valeur décroissant du critère) ont passé 16.28% des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.
Ces calculs, sont partiellement présentés dans le tableau ci-dessous :
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
0.5 |
16.28 |
20.5 |
72.68 |
40.5 |
84.86 |
60.6 |
92.45 |
80.5 |
97.6 |
1 |
24.55 |
21 |
73.11 |
41 |
85.09 |
61 |
92.61 |
81 |
97.7 |
1.5 |
30.12 |
21.5 |
73.51 |
41.5 |
85.32 |
61.5 |
92.77 |
81.5 |
97.8 |
2 |
34.36 |
22 |
73.92 |
42 |
85.54 |
62 |
92.92 |
82 |
97.89 |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
19 |
71.33 |
39 |
84.18 |
59 |
91.97 |
79 |
97.3 |
99 |
99.7 |
19.5 |
71.79 |
39.5 |
84.41 |
59.5 |
92.13 |
79.5 |
97.4 |
99.5 |
99. 99 |
20 |
72.24 |
40 |
84.64 |
60 |
92.29 |
80 |
97.5 |
100 |
100 |
traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous sous la forme d'un diagramme de Pareto:
(4)
ou de manière plus pertinente sous la forme d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes est remplacé par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données ci-dessus):
(5)
Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques utilisées dans le domaine de la "gestion de la qualité totale" (Total Quality Management) ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème de qualité. Elle est également utilisée par les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier pour différencier les processus en fonction de caractéristique de la demande (suivi différencié de la clientèle selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le nom de "Méthode ABC" (cf. chapitre de Génie Industriel).
La ligne en pointillés de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé en cas d'équi-répartition du phénomène étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était caractérisée par le même nombre de bons de commande.
De façon générale, plus une courbe de Pareto (ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite et plus la répartition de la masse considérée au sein de la population est égalitaire. En effet, dans ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.) est peu concentrée sur quelques uns.
Dans un environnement industriel, les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables. On pourrait même améliorer indéfiniment, tout et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.
INDICE DE GINI
Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition. Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance) un indicateur synthétique pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice de Gini" (appelé aussi "coefficient de Gini").
Ce coefficient est défini par le rapport:
(6)
où les surfaces A et B se rapportent à la figure ci-après.
(7)
Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0). En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de la répartition augmente.
Sachant que la courbe de Lorenz est on
voit que la surface A+B est égale à la moitié de
cette surface. Nous avons donc :
(8)
Nous pouvons de ce fait écrire:
(9)
De plus comme:
(10)
Finalement, nous pouvons écrire que :
(11)
En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui est donnée par:
(12)
où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):
(13)
Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:
(14)
où n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:
(15)
Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en entreprise!!):
(16)
La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:
(17)
Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:
(18)
Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:
(19)
PERT PROBABILISTE
En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes" (Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).
Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration (...) :
(20)
et donne la durée probable (espérée)
d'une tâche élémentaire (non décomposable
en sous-tâches)
où nous
avons
qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable
et pessimiste de la tâche
.
Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!
Ses principes sont les suivants :
La durée de chaque
tâche du projet est considérée comme aléatoire
et la distribution Bêta est systématiquement utilisée;
les paramètres de cette loi que nous allons démontrer
sont déterminés moyennant une hypothèse de
calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a
et b que la durée d'exécution peut prendre,
et du mode .
Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :
1. Quelle est la durée minimale ?
2. Quelle est la durée maximale ?
3. Quelle est la durée espérée ?
pour obtenir
respectivement les paramètres ,
qui permettent ensuite de calculer la moyenne (espérance)
et la variance de
cette durée aléatoire.
Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées moyennes (espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).
Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.
L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :
(21)
et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :
(22)
Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral que :
et
.
(23)
En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:
(24)
Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus générale:
(25)
Vérifions que nous ayons bien :
(26)
Par le changement de variable :
et
(27)
nous obtenons :
(28)
Déterminons maintenant l'espérance :
(29)
Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :
(30)
Or :
(31)
Donc :
(32)
Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques:
(33)
Calculons d'abord .
(34)
Toujours par le même changement de variable nous obtenons,
(35)
Or :
(36)
Donc :
(37)
Pour finir :
(38)
Calculons maintenant pour
le "module"
de cette loi de distribution.
est par définition le maximum global de la fonction :
(39)
Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :
(40)
Après dérivation nous obtenons :
(41)
en divisant par
nous avons :
(42)
c'est-à-dire :
(43)
Maintenant, le lecteur aura
remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite
et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode .
En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées
optimiste ,
pessimiste
d'une
tâche.
Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :
ou
(44)
Ce qui implique que nous ayons :
(45)
ainsi que :
(46)
Et finalement :
(47)
Ce qui nous donnes sous forme synthétique:
(48)
Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:
(49)
cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).
Nous obtenons alors pour l'espérance:
(50)
et pour la variance:
(51)
et le mode:
(52)
Avec:
(53)
Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement les mêmes!
Exemple:
Tracé de la fonction de distribution et répartition
pour la fonction de beta de paramètres :
(54)
Nous définissons aussi le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation est laissée aux responsable de projet et au client...) :
(55)
page suivante : 3. Processus Six Sigma (Lean)