Cours sur les techniques de gestion



TECHNIQUES DE GESTION

1. Diagramme de Pareto/Lorenz

1.1. Indice de Gini

2. PERT Probabiliste

3. Processus Six Sigma (Lean)

4. Contrôle statistique des salaires

5. Gestion de stocks

5.1. Stock initiale optimal

5.2. Modèle de Wilson

6. Biens d'équipements

6.1. Amortissement linéaire

6.2. Amortissement arithmétique dégressif

6.3. Amortissement géométrique dégressif

6.4. Choix d'investissement

6.4.1. Valeur actuelle nette

6.4.2. Taux de rentabilité interne

6.4.3. Délai de récupération et d'amortissement

7. Théorie des files d'attentes M/M/...

7.1. Modélisation des durées d'arrivées M/M/...

7.2. Modélisation des durées de service M/M/...

7.3. Notation de Kendall

7.4. Modélisation des arrivées et départs M/M/1

7.5. Probabilité de mise en attente M/M/k/k (formule d'Erlang B)

7.6. Probabilité de mise en attente M/M/k/8(formule d'Erlang C)

8. Assurances

8.1. Calcul de prime

8.2. Prise en compte de l'expérience

L'objectif de ce chapitre est d'introduire aux principales techniques mathématiques de production et de gestion, de maintenance et de qualité dont l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs, gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs, c'est un excellent chapitre pour la culture générale du physicien ou du mathématicien... et un acquis pour l'ingénieur!

Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées ici car ayant déjà été démontrées dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques de gestion font un énorme usage des statistiques (dites "statistiques descriptives" dans le domaine), de la théorie de la décision, de la théorie des graphes ainsi que de l'économétrie (en particulier le VAN, le R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres entiers y étant déjà consacrés sur ce site il serait redondant d'y revenir.

Remarque: Nous parlons souvent de 3M (Méthodes Mathématiques de Management) pour décrire l'ensemble des outils mathématiques appliqués à la gestion (il existe d'ailleurs un cursus de formation d'une vingtaine de journées). Une terme anglophone courant et qui devient à la mode en Europe pour décrire ce domaine d'application est aussi le "decisioneering" faisant référence au fait que ce sont des outils d'aide à la décision pour les ingénieurs.

Indiquons avant de commencer que malgré son importance intrinsèque les techniques quantitatives de gestion (incluant aussi la recherche opérationnelle et la modélisation par Monte-Carlo vues dans le chapitre d'Informatique Théorique ainsi que Six Sigma vu dans le chapitre de Génie Industriel et la Théorie de la Décision) sont encore peu utilisées dans le monde industriel, soit à cause du manque d'(in)formation des décideurs (excepté dans le domaine de la finance), soit par le manque de pertinence de l'outil ou sa difficulté de mise en œuvre. Les principales craintes émises par les décideurs quant à l'application de modèles mathématiques dans l'entreprise sont :

1. Une prise en compte limitée des facteurs: Pour les questions stratégiques, la réponse pure et parfaite d'une solution mathématique semble rarement applicable de facto. Même si les techniques quantitatives intègrent beaucoup de facteurs, si certains aspects sont relativement faciles à modéliser au sens mathématique du terme (le coût, la rentabilité, la distance, la durée, la cadence, par exemple), d'autres éléments sont en revanche plus difficiles à modéliser : contraintes légales, volonté commerciale de faire barrage à un concurrent, importance des relations avec les élus, climat social, etc. Le poids de ces éléments dans la décision est pourtant important, parfois déterminant.

2. Un investissement important: L'outil mathématique lui-même exige un niveau élevé de connaissances mathématiques, une bonne aptitude à modéliser les problèmes et décrire les facteurs. Ces contraintes sont consommatrices de beaucoup de temps et d'une certaine somme d'argent (que ce soit par développement interne, qui consomme des ressources - ou par développement externe, qui consomme de l'argent). Il est alors nécessaire de trouver un équilibre entre l'investissement nécessaire et les retombées prévues.

3. Pour des événements peu fréquents: L'entreprise ne bénéficie pas de l'effet d'expérience et donc d'une fois sur l'autre, le problème concerne un service différent, ou les responsables ont changé entre deux études. Il est donc difficile d'entretenir les compétences à l'intérieur de l'entreprise. Le décideur devra prendre ces différents aspects en compte lorsqu'il décidera ou non de mettre en œuvre des techniques quantitatives dans son entreprise.

Nous pouvons aussi argumenter que ce qui fait que les techniques scientifiques de gestion (TQG) ne soient guère répandues est que:

1. Dans un environnement peux exigeant le surcroît de puissance qu'offrent les TQG ne justifie pas forcément les efforts nécessaires à leur apprentissage.

2. Les TQG sont exigeantes en raisonnement et rigoureuses, elles ne peuvent donc convenir aux personnes qui ne connaissent ni l'un ni l'autre...

Diagramme de Pareto

Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen (entre autres) simple pour classer les phénomènes par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi souvent utilisée en entreprise comme base de simulation stochastique pour des variables aléatoires représentant des investissement chiffrés de projets (à peu près aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire, la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).

Rappelons alors qu'une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (1)

avec equation et equation (donc equation) et pour l'espérance (moyenne) :

equation  (2)

et l'écart-type:

equation   (3)

Pour illustrer ce type de représentation, nous supposerons qu'une étude de réorganisation du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le directeur commercial à s'intéresser à la répartition des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau) reçus pendant une année donnée selon la ville où sont domiciliés les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties en 5 colonnes).

Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les gestionnaires, l'analyse quantitative étant réservée majoritairement aux ingénieurs.

Ces données sont reproduites dans le tableau ci-dessous :

ni

Ni

ni

Ni

ni

Ni

ni

Ni

ni

Ni

8965

8965

240

40027

125

46378

88

50916

55

53752

4556

13520

236

40263

123

46862

87

51003

54

53806

3069

16589

224

40487

123

46985

87

51090

54

53860

2336

18925

223

40710

123

47108

86

51176

54

53914

1872

20796

220

40930

122

47229

85

51261

54

53968

1595

22391

215

41145

121

47350

85

51346

51

54018

1326

23718

213

41357

118

47468

84

51430

50

54068

1184

24902

212

41570

118

47586

84

51514

49

54116

1085

25987

202

41772

118

47705

82

51597

48

54164

934

26921

201

41972

117

47821

81

51678

47

54211

843

27764

200

42172

115

47936

79

51757

44

54255

747

28510

191

42363

114

48050

79

51835

43

54298

722

29232

190

42553

112

48162

78

51913

43

54340

710

29943

188

42741

112

48274

78

51990

42

54382

647

30589

185

42926

108

48383

77

52067

41

54423

631

31221

179

43105

108

48490

76

52144

40

54463

607

31828

173

43278

107

48597

74

52218

40

54503

539

32367

170

43448

106

48703

72

52290

38

54542

502

32868

161

43609

105

48808

72

52362

38

54580

462

33330

160

43769

102

48910

72

52434

37

54617

459

33790

158

43927

102

49012

71

52505

37

54654

422

34212

153

44080

102

49114

71

52576

36

54690

372

34584

153

44233

101

49215

70

52647

36

54726

362

34945

149

44382

100

49315

70

52716

35

54760

355

35300

149

44531

100

49415

67

52784

33

54793

347

35647

148

44679

99

49514

66

52851

32

54825

342

35989

147

44826

98

49612

66

52918

31

54856

338

36327

147

44972

98

49710

65

52983

28

54884

329

36656

147

45119

97

49807

64

53047

25

54909

314

36970

146

45265

96

49904

64

53110

21

54931

314

37283

146

45411

96

50000

64

53174

21

54951

310

37593

142

45553

96

50095

62

53236

20

54972

310

37903

140

45693

96

50190

60

53296

19

54991

301

38203

137

45829

93

50284

60

53356

19

55010

284

38755

137

45966

92

50376

58

53414

15

55025

268

38755

135

46101

92

50468

57

53471

13

55038

267

39022

131

46232

92

50559

57

53539

11

55049

265

39287

128

46360

91

50650

56

53585

11

55060

251

39538

127

46487

90

50740

56

53641

8

55068

249

39787

126

46613

88

50828

56

53697

6

55074

Tableau: 1  - Dataset pour analyse de Pareto

où les 200 valeurs ni (nombre de bons de commande en provenance d'une ville i) ont été classées par valeurs décroissantes et cumulées dans une colonne Ni.

La première ville se caractérise par 8'965 bons de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons), la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à 30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène consiste à dire : 0.5% des villes (classées par valeur décroissant du critère) ont passé 16.28% des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.

Ces calculs, sont partiellement présentés dans le tableau ci-dessous :

i%

Ni%

i%

Ni%

i%

Ni%

i%

Ni%

i%

Ni%

0.5

16.28

20.5

72.68

40.5

84.86

60.6

92.45

80.5

97.6

1

24.55

21

73.11

41

85.09

61

92.61

81

97.7

1.5

30.12

21.5

73.51

41.5

85.32

61.5

92.77

81.5

97.8

2

34.36

22

73.92

42

85.54

62

92.92

82

97.89

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

19

71.33

39

84.18

59

91.97

79

97.3

99

99.7

19.5

71.79

39.5

84.41

59.5

92.13

79.5

97.4

99.5

99. 99

20

72.24

40

84.64

60

92.29

80

97.5

100

100

Tableau: 2  - Données cumulées et normalisées pour analyse de Pareto

traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous sous la forme d'un diagramme de Pareto:

equation
  (4)

ou de manière plus pertinente sous la forme d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes est remplacé par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données ci-dessus):

equation
  (5)

Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques utilisées dans le domaine de la "gestion de la qualité totale" (Total Quality Management) ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème de qualité. Elle est également utilisée par les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier pour différencier les processus en fonction de caractéristique de la demande (suivi différencié de la clientèle selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le nom de "Méthode ABC" (cf. chapitre de Génie Industriel).

La ligne en pointillés de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé en cas d'équi-répartition du phénomène étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était caractérisée par le même nombre de bons de commande.

De façon générale, plus une courbe de Pareto (ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite et plus la répartition de la masse considérée au sein de la population est égalitaire. En effet, dans ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.) est peu concentrée sur quelques uns.

Remarque: La présentation de cette analyse a été faite en classant les observations par valeurs décroissantes mais nous aurions pu tout aussi bien partir d'un classement par valeurs croissantes et, dans ce dernier cas, la courbe obtenue aurait été symétrique, le centre de symétrie étant le point de coordonnées (0.5,0.5).

Dans un environnement industriel, les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables. On pourrait même améliorer indéfiniment, tout et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.

INDICE DE GINI

Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition. Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance) un indicateur synthétique pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice de Gini" (appelé aussi "coefficient de Gini").

Ce coefficient est défini par le rapport:

equation   (6)

où les surfaces A et B se rapportent à la figure ci-après.

equation
  (7)

Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0). En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de la répartition augmente.

Sachant que la courbe de Lorenz est equation on voit que la surface A+B est égale à la moitié de cette surface. Nous avons donc :

equation   (8)

Nous pouvons de ce fait écrire:

equation   (9)

De plus comme:

equation   (10)

Finalement, nous pouvons écrire que :

equation   (11)

En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui est donnée par:

equation   (12)

où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):

equation
  (13)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

equation   (14)

n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

equation   (15)

Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en entreprise!!):

equation
  (16)

La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:

equation   (17)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

equation   (18)

Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

equation   (19)

PERT PROBABILISTE

En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes" (Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).

Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration (...) :

equation   (20)

et donne la durée probable (espérée) equation d'une tâche élémentaire (non décomposable en sous-tâches) où nous avons equation qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable et pessimiste de la tâche equation. Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!

Remarque: Cette approche classique date de 1962 et est due à C.E. Clark.

Ses principes sont les suivants :

La durée de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire et la distribution Bêta est systématiquement utilisée; les paramètres de cette loi que nous allons démontrer sont déterminés moyennant une hypothèse de calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a et b que la durée d'exécution peut prendre, et du mode equation.

Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :

1. Quelle est la durée minimale ?

2. Quelle est la durée maximale ?

3. Quelle est la durée espérée ?

pour obtenir respectivement les paramètres equation, qui permettent ensuite de calculer la moyenne (espérance) et la variance de cette durée aléatoire.

Dilbert

Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées moyennes (espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).

Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.

L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :

equation   (21)

et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :

equation   (22)

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral que :

equation et equation.   (23)

En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:

equation   (24)

Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus générale:

equation   (25)

Vérifions que nous ayons bien :

equation   (26)

Par le changement de variable :

equation etequation   (27)

nous obtenons :

equation   (28)

Déterminons maintenant l'espérance :

equation   (29)

Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :

equation   (30)

Or :

equation   (31)

Donc :

equation  (32)

Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques:

equation   (33)

Calculons d'abord equation.

equation   (34)

Toujours par le même changement de variable nous obtenons,

equation   (35)

Or :

equation   (36)

Donc :

equation  (37)

Pour finir :

equation   (38)

Calculons maintenant pour le "module" equation de cette loi de distribution. equation est par définition le maximum global de la fonction :

equation   (39)

Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :

equation   (40)

Après dérivation nous obtenons :

equation   (41)

en divisant par equation nous avons :

equation   (42)

c'est-à-dire :

equation   (43)

Maintenant, le lecteur aura remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode equation.

En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées optimiste equation, pessimiste equation d'une tâche.

Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :

equation ou equation   (44)

Ce qui implique que nous ayons :

equation   (45)

ainsi que :

equation   (46)

Et finalement :

equation   (47)

Ce qui nous donnes sous forme synthétique:

equation   (48)

Remarque: Les deux dernières expressions de la variance et de l'espérance sont celles que vous pouvez trouver dans n'importe quel livre de gestion de projets (sans démonstration bien sûr...) comme par exemple le fameux PMBOK. Malheureusement il y a une erreur dans cet ouvrage de référence de gestion de projets à ma connaissance. Effectivement la valeur modale y est imposée par le chef de projet alors qu'en toute rigueur elle doit être calculée avec la première des trois relations ci-dessus à partir de la durée pessimiste et de la durée optimiste de la tâche!!!

Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:

equation   (49)

cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).

Nous obtenons alors pour l'espérance:

equation   (50)

et pour la variance:

equation   (51)

et le mode:

equation   (52)

Avec:

equation   (53)

Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement les mêmes!

exempleExemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de beta de paramètres equation:

equationequation
  (54)

Nous définissons aussi le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation est laissée aux responsable de projet et au client...) :

equation   (55)


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