BIENS D'ÉQUIPEMENT



TECHNIQUES DE GESTION

1. Diagramme de Pareto/Lorenz

1.1. Indice de Gini

2. PERT Probabiliste

3. Processus Six Sigma (Lean)

4. Contrôle statistique des salaires

5. Gestion de stocks

5.1. Stock initiale optimal

5.2. Modèle de Wilson

6. Biens d'équipements

6.1. Amortissement linéaire

6.2. Amortissement arithmétique dégressif

6.3. Amortissement géométrique dégressif

6.4. Choix d'investissement

6.4.1. Valeur actuelle nette

6.4.2. Taux de rentabilité interne

6.4.3. Délai de récupération et d'amortissement

7. Théorie des files d'attentes M/M/...

7.1. Modélisation des durées d'arrivées M/M/...

7.2. Modélisation des durées de service M/M/...

7.3. Notation de Kendall

7.4. Modélisation des arrivées et départs M/M/1

7.5. Probabilité de mise en attente M/M/k/k (formule d'Erlang B)

7.6. Probabilité de mise en attente M/M/k/8(formule d'Erlang C)

8. Assurances

8.1. Calcul de prime

8.2. Prise en compte de l'expérience

Les installations, les biens d'équipement subissent une dépréciation progressive due à l'usure ou à l'obsolescence. Cette baisse de valeur, enregistrée comme un charge en comptabilité, est appelée "amortissement comptable". Il ne faut pas confondre l'amortissement financier vue en économétrie, qui correspond au remboursement d'une dette et l'amortissement comptable qui est une diminution de valeur des moyens de production.

Certains types de biens ont une perte de valeur assez uniforme dans le temps contrairement à d'autres qui se déprécient plus rapidement les premières années. Nous allons présenter ici quelques unes des méthodes comptables utilisées en pratique qui décrivent l'un ou l'autre de ces phénomènes.

AMORTISSEMENT LINÉAIRE

Définition: Nous parlons d'un "amortissement linéaire" d'un bien lorsque sa valeur d'immobilisation (amortissement) est diminuée d'un montant périodique (annuel dans la comptabilité) constant durant sa durée de vie:

Ainsi, si nous notons equation le montant du k-ème amortissement et equation la valeur initiale du bien d'équipement et equation sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle), nous avons :

equation   (114)

Il est possible d'obtenir la valeur d'amortissement en utilisant la fonction AMORLIN( ) de MS Excel.

Le taux d'amortissement équivalent constant basé sur la valeur d'achat et résiduelle est alors donnée évidemment par:

equation   (115)

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

AMORTISSEMENT ARITHMÉTIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation (amortissement) d'un bien décroît inversement à l'ordre des périodes (années en comptabilité) nous parlons alors "d'amortissement arithmétique dégressif" (donc pas de taux d'amortissement imposé par l'État possible!).

Par exemple, un bien d'une durée de vie de 4 ans, sera amortissable de 4/10 la première année, 3/10 la seconde, 2/10 la troisième et 1/10 la dernière. La base commune "10" (dans cet exemple) étant la somme arithmétique 1+2+3+4 afin que la totalité des fractions soit égale à l'unité. Il s'agit d'une règle purement fiscale américaine " Sum-of-Years Digits" (SYD).

Remarque: Il ne faut pas confondre "l'amortissement arithmétique dégressif" avec "l'amortissement dégressif" qui consiste à appliquer un coefficient multiplicateur (édicté par le fisc) au pourcentage d'amortissement linéaire correspondant et que nous ne traîterons pas sur ce site (sauf demande explicite d'un internaute). Il ne peut être utilisé que pour des biens neufs et ne concerne pas tous les types d'immobilisation. Ce taux d'amortissement dégressif s'applique chaque année sur la valeur comptable résiduelle du bien.

Soit equation le k-ème amortissement et equation la valeur initiale du bien d'équipement et equation sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle) nous avons alors:

equation   (116)

ce qui peut s'écrire :

equation   (117)

et comme nous l'avons démontré dans le chapitre des Suites Et Séries :

equation   (118)

ce qui nous amène à écrire :

equation   (119)

Il est possible d'obtenir l'amortissement à une période k en utilisant la fonction SYD( ) de MS Excel.

AMORTISSEMENT GÉOMÉTRIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation d'un bien décroît selon un taux d'amortissement constant basé sur la valeur résiduelle de la période précédente (donc en quelque sorte comme un intérêt composé à taux négatif), nous parlons alors "d'amortissement géométrique dégressif simple".

Ainsi, la valeur du bien après n années est défini par :

equation   (120)

avec donc :

equation   (121)

Remarque: Nous constatons que t% étant comprise dans l'intervalle entre [0,1[ la limite de equation quand n tend vers l'infini n'est jamais nulle. Ainsi, la valeur résiduelle ne le sera jamais non plus !

Sachant que par définition de cet amortissement que equation nous obtenons :

equation   (122)

En injectant l'expression du taux dans la relation précédente, nous obtenons :

equation   (123)

Nous remarquons donc que les valeurs d'amortissement ne nécessitent pas de connaître le taux de manière explicite. Il suffit de connaître la valeur finale et initiale. C'est justement pour cela que la fonction DB( ) de MS Excel ne demande pas le taux d'amortissement.

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

Remarque: L'amortissement géométrique dégressif convient particulièrement aux biens ayant une très forte dépréciation les premières années.

CHOIX D'INVESTISSEMENTS

Par définition, un investissement est l'acquisition ou le développement d'un bien (quelque soit sa forme, matérielle ou non) par une entreprise, une collectivité ou un individu. Un investissement implique dans le cadre économique simple :

1. Une dépense immédiate, payable en une ou plusieurs fois

2. Des entrées futures, appelées "cash flows"

3. Une valeur résiduelle

Il existe plusieurs critères et techniques pour les choix d'investissements, que nous présenterons ci-après, qui permettent d'opter pour un investissement A ou B : celui de la "valeur actuelle nette" (VAN), celui du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou encore celui de "délai de récupération".

Remarque: Il ne faut pas oublier aussi que les techniques de décisions (cf. chapitre de Théorie Des Jeux) ont une énorme importance lorsque les sommes considérées atteignent des valeurs non négligeables.

VALEUR ACTUELLE NETTE

Comme nous l'avons spécifié plus haut, un investissement implique trois points. Ce qui intéresse bien évidemment l'investisseur, c'est qu'en valeur actuelle, l'investissement rapporte plus que ce qui est dépensé.

Voyons une situation type : une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.-, ce qui devrait permettre d'abaisser les coûts de production de 1'000.- durant 5 ans. Nous estimons que dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on acheter cette machine si cet investissement peut être financé par un emprunt à 10% ?

Quelles informations avons-nous ici ?

1. La dépense immédiate equation

2. La valeur finale ou résiduelle du bien d'équipement après 5 ans equation

3. Les cash-flow de chaque année equation (qui sont constant sur toute la période dans cet exemple)

4. Le taux d'intérêt (taux géométrique moyen du marché) de l'emprunt correspondant equation

Quelles informations, ou questions intéressantes, financièrement parlant, pouvons nous nous poser par rapport aux données ci-dessus ? :

1. Quel serait le capital initial qui au taux du marché nous permettrait de retirer 1'000.- par année pendant 5 ans (jusqu'à ce qu'on solde le compte) ? :

equation   (124)

ce qui s'écrit si equation (nous retrouvons la relation de la rente certaine postnumerando vue dans le chapitre d'Économétrie) :

equation   (125)

Dans notre exemple cette somme (après un petit calcul) revient à environ 3790.-.

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 3'790.- pendant les mêmes 5 ans, pour en retirer 1'000.- par année jusqu'à solder le compte. Donc pour l'instant, un investissement de 3'790 pour économiser (gagner) 1'000.- par année semble beaucoup plus favorable qu'en dépenser 6'000.- (...) pour le même retour, sur la même durée.

Déjà là, nous pouvons dire que l'achat de la machine est défavorable.

Mais il ne faut pas oublier aussi un deuxième facteur... la valeur résiduelle de notre machine !!!

2. Quelle serait le capital initial qui au taux du marché nous rapporterait une valeur équivalente à la valeur résiduelle de notre machine (c'est une valeur immobilisée au même titre qu'une épargne, donc nous pouvons nous intéresser à ce qu'il adviendrait si cette somme provenait d'une épargne) ?

equation   (126)

Dans notre exemple, cette somme revient environ à 1'862.-

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 1'862.- pendant les mêmes 5 ans, pour obtenir une somme égale à la valeur résiduelle de notre machine.

Et alors ?

La somme :

equation   (127)

représente le retour sur la base d'une épargne initiale pour obtenir, par rapport aux informations de valeur résiduelle et de cash-flow, la somme finale équivalent à l'achat de notre machine. Or, dans cet exemple, cette somme nous donne environ 5'653.-.

Ce résultat est important car il est à comparer avec l'investissement que nous voulions faire initialement. Deux options s'offrent donc à nous :

1. Acheter la machine à 6'000.- avec les cash-flow et le valeurs résiduelle que nous connaissons

2. Epargner 5'653.- pendant la même période, avec les mêmes cash-flow pour nous retrouver avec une épargne finale qui devrait équivalente à celle à la valeur résiduelle de notre machine.

Or, que pouvons nous conclure dans notre exemple ? Eh, bien simplement que dans un cas défavorable :

equation   (128)

En d'autres termes, pour le financier (ou chef de projet), le calcul intéressant à faire est le suivant :

type=text/javascript   (129)

qui :

1. Lorsqu'il est négatif correspond à un investissement qu'il vaut mieux éviter

2. Lorsqu'il est nul est un investissement indécidable

3. Lorsqu'il est positif est un bon investissement

Dans certains cas scolaires et livres de gestion de projets, la relation du VAN ci-dessus est simplifiée car nous supposons qu'un seul investissement... est fait en début de projet. Ainsi, nous avons:

equation   (130)

Enfin, précison que le rapport:

equation   (131)

est souvent appelé "coefficient d'actualisation" de la n-période.

Ainsi, le VAN est utilisé comme critère décisionnel dans les grandes entreprises pour chiffrer l'apport spécifique d'un projet au résultat financier de l'entreprise, en tenant compte du coût du capital utilisé via le taux d'actualisation.

Donc dans le cas d'un choix entre plusieurs investissement, nous choisirons celui dont la VAN est la plus grande. Si les cash-flow sont non déterministes il faudra alors calculer l'espérance et la variance du VAN. Les spécialistes abrègent souvent le calcul de l'espérance du VAN par l'abréviation VANe pour "valeur actuelle nette espérée" ou plus fréquemment en anglaiS "expected net present value" (eN.P.V.).

Remarque: Le VAN est aussi souvent appelé "quasi-rente actualisée" ou encore en anglais "net present value" (N.P.V.). Nous trouvons également souvent la dénomination "méthode des cash-flows actualisés".

Si nous considérons en avenir certain avec un investissement initial unique de 10'000.- avec un taux d'actualisation constant de 10% et un cash flow parfaitement périodique de 3'250.-, 3'750.-, 4'250.-, 4'750.- nous avons la représentation tabulaire traditionnelle:

Année

Action

Cash-Flow

C.A.

C.F.A.

0

Investissement

-10'000

1

-10'000

1

Entrée

3'250

0.909

2'955

2

Entrée

3'750

0.826

3'099

3

Entrée

4'250

0.751

3'193

4

Entrée

4'750

0.683

3'244

SOMME

F.N.T:

5'500

F.N.T.A:

2'149

Tableau: 11  - Actualisation détaillée sous forme comptable

où dans le tableau ci-dessus F.N.T. signifie "Fond Net de Trésorerie", F.N.T.A. "Fond Net de Trésorerie Actualisé", C.A. "Coefficient d'Actualisation" et C.F.A. "Cash-Flow Actualisé".

Ainsi dans ce tableau, l'investissement rapport 2'150.- de plus qu'une opération de placement à 10% après 4 ans

TAUX DE RENTABILITÉ INTERNE

Définition (technique): Le "taux de rentabilité interne" (TRI), appelé aussi parfois "taux limite de rentabilité" est le taux d'actualisation t% pour lequel la valeur actualisée des rentrées nettes de fonds résultant d'un projet d'investissement est égale à la valeur actualisée des décaissements requis pour réaliser cet investissement.

En d'autres termes, cela revient à se demander quel est le taux moyen géométrique du marché pour lequel la V.A.N. du projet est nulle. Soit à satisfaire la relation :

equation   (132)

qui ne peut que se calculer rapidement avec des outils informatiques (l'outil Cible dans MS Excel par exemple).

Donc entre deux investissement, nous choisissons dans les entreprises celui dont le TRI est le plus élevé et satisfait aux contraintes internes.

Ce type de calcul s'applique donc sur le retour sur projets contre investissements sur le marché et non pas au retour sur projets contre exploitation. Ainsi, il s'agit d'un outil calculatoire d'aide à la décision purement financier et non industriel ou commercial.

DÉLAI DE RÉCUPÉRATION ET D'AMORTISSEMENT

Le "délai de récupération" ou "pay back" (en anglais) est un autre indicateur pour l'aide à la décision dans le cadre des choix d'investissements de projets et plus simple à l'utilisation (et à la compréhensions) que le VAN.

Cet indicateur a pour simple et seul objectif de montrer quand, dans le temps, l'investissement sera remboursé. En d'autres termes, il indique le nombre de périodes nécessaires pour que la somme des cash-flows couvre l'investissement initial. C'est une information très simple à déterminer qui revient à chercher le plus petit entier p tel que :

equation   (133)

ou encore :

equation   (134)

En d'autres c'est le moment d'un projet lorsque les cash-flow équilibrent l'investissement inital.

Définition: Le "délai d'amortissement" est le nombre de périodes nécessaire tel que :

equation   (135)

ou encore :

equation   (136)


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