ASSURANCES



TECHNIQUES DE GESTION

1. Diagramme de Pareto/Lorenz

1.1. Indice de Gini

2. PERT Probabiliste

3. Processus Six Sigma (Lean)

4. Contrôle statistique des salaires

5. Gestion de stocks

5.1. Stock initiale optimal

5.2. Modèle de Wilson

6. Biens d'équipements

6.1. Amortissement linéaire

6.2. Amortissement arithmétique dégressif

6.3. Amortissement géométrique dégressif

6.4. Choix d'investissement

6.4.1. Valeur actuelle nette

6.4.2. Taux de rentabilité interne

6.4.3. Délai de récupération et d'amortissement

7. Théorie des files d'attentes M/M/...

7.1. Modélisation des durées d'arrivées M/M/...

7.2. Modélisation des durées de service M/M/...

7.3. Notation de Kendall

7.4. Modélisation des arrivées et départs M/M/1

7.5. Probabilité de mise en attente M/M/k/k (formule d'Erlang B)

7.6. Probabilité de mise en attente M/M/k/8(formule d'Erlang C)

8. Assurances

8.1. Calcul de prime

8.2. Prise en compte de l'expérience

L'assurance est une opération pour laquelle une personne (l'assureur) groupe en mutualité d'autres personnes (les assurés) afin de les mettre en situation de s'indemniser mutuellement des pertes éventuelles (les sinistres) auxquelles les expose la réalisation de certains risques, au moyen des sommes (primes ou cotisations) versées par chaque assuré à une masse commune gérée par l'assureur.

Le dénominateur commun de la majorité des lois défini le contrat d'assurance comme un contrat en vertu duquel, moyennant le paiement d'une prime fixe ou variable, une partie, l'assureur, s'engage envers une autre partie, le preneur d'assurance, à fournir une prestation stipulée dans le contrat au cas où surviendrait un événement incertain que selon le cas, l'assuré ou le bénéficiaire, a intérêt à ne pas voir se réaliser.

Evidemment, l'opération d'assurance a pour effet le transfert (total ou partiel) des conséquences financières du risque subi par l'assuré vers une société d'assurance. Dès lors, à la souscription du contrat, l'assureur et l'assuré conviennent:

- D'un événement ou d'une liste d'événements, repris dans la police d'assurance, et garantis par l'assureur.

- D'une prime payée par l'assuré à l'assureur.

Les dépenses prises en charge par l'assureur peuvent correspondra:

- Soit à des indemnités à verser à des tiers, au titre de la responsabilité (civile, professionnelle ou autre) de l'assuré.

- Soit à la répartition des dommages subis par ce dernier.

Les hypothèses d'usage de l'assurance sont les suivantes:

H1. D'un point de vue juridique, un contrat d'assurance est un "contrat aléatoire" valide uniquement pour couvrir des risques ayant une composante aléatoire

H2. La "règle du jeu" du risque doit être stable dans un laps de temps considéré comme long (au moins quelques années)

H3. La perte maximale possible ne doit pas être trop importante par rapport à la marge de solvabilité de l'assureur

H4. La prime moyenne du risque doit être identifiable et quantifiable selon des variables statistiques explicatives bien choisies afin éventuellement de permettre un segmentation de la gestion des risques.

H5. Les risques doivent être indépendants (et s'ils sont identiques distribués en termes de probabilités et de pondération c'est mieux...) et démontrable comme étant tels significativement en utilisant les outils statistiques.

H6. Il doit exister un marché dans le sens que l'offre et la demande d'assurance doivent arriver à un prix d'équilibre (en quelque sorte l'équivalent de l'absence d'opportunité d'arbitrage en finance).

H7. L'espérance mathématique est considérée comme le prix de la prime pure juste à faire payer aux assureurs.

Définitions:

D1. La "prime pure" est dans le domaine de l'assurance choisie comme étant l'espérance mathématique de la charge, elle correspond à la prime minimale que peut demander un assureur pour ne pas, statistiquement, faire ruine de façon certaine.

D2. Le "chargement de sécurité" est le montant qui vient s'ajouter à la prime pure en permettant à l'assureur de pouvoir résister à la volatilité des remboursements.

D3. Le "chargement de frais de gestion" est le montant qui vient s'ajouter aux deux précédents et est lié fonctionnement de leur société, de la gestion des contrats, du recouvrement des primes, du placement des actifs (prime technique de base), des taxes...

D4. Le "chargement des frais commerciaux" vient s'ajouter aux trois précédents et es lié à l'acquisition des contrats (commissions des intermédiaires, frais des réseaux commerciaux, publicité) afin d'obtenir.

D5. Au final, l'ensemble des coûts se retrouve dans la "prime commerciale" qu'est celle communiquée au client.

Nous pouvons déjà en conclure que dans le cas d'un système d'assurance étatique obligatoire ou facultatif, les frais de gestion et commerciaux seront toujours inférieurs, sous l'hypothèse d'une méthode managériale égale, à un système privé.

CALCUL DE PRIME

L'assureur ne connaît donc pas exactement le montant des sinistres qui va survenir. En tarifant les contrats au niveau de la prime pure (et en supposant une distribution des pertes symétriques), l'assureur perd de l'argent une année sur deux. En l'absence de fonds propres, cette situation conduirait immédiatement à la faillite.

Pour se protéger, l'assureur ajoute donc à sa prime un chargement de sécurité. De nombreuses méthodes permettant de le déterminer sont possibles, aucune n'ayant à ce jour supplanté largement les autres :

- Chargement proportionnel à la prime pure. Le coefficient de proportionnalité reflète l'idée que l'assureur de la volatilité du risque.

- Chargement dépendant de l'écart type des pertes. Cette méthode est une légère formalisation de la précédente. Elle pose problème car elle introduira un chargement de sécurité qui dépendra des cas de gains (perte réelle inférieure à la prime pure)

- Chargement dépendant d'un certain quantile des pertes (par exemple le troisième quartile). Un tel chargement permet de garantir que la prime sera suffisante dans un nombre de cas déterminé à l'avance, mais ne donne aucune information sur les cas de pertes techniques.

Considérons le cas où la population serait hétérogène, in extenso deux classes equation de risque coexistent dans la population de poids respectifs equation avec bien évidemment:

equation   (255)

Considérons une assurance maladie avec deux catégories  d'assurée (jeunes en bonne santé A /seniors à risque B).

Pour simplifier l'exemple à l'extrême, imaginons que l'assureur sait, à l'aide de ses statistiques internes, qu'un individu du groupe A va coûter à l'assurance un somme définie par une loi de distribution statistique que nous noterons dans le cadre de ce chapitre:

equation   (256)

Soit à tout coût x est associée une certaine probabilité cumulée donnée par la fonction equation. De même pour le groupe B:

equation   (257)

Si nous prenons alors au hasard un individu dans le portefeuille, si equation désigne le groupe (notation traditionnelle en assurance), l'assureur devrait donc réclamer en primes pures pour le groupe A:

equation   (258)

soit l'espérance de la fonction equation. Idem pour le groupe B:

equation   (259)

Et pour un voyageur pris au hasard dans les deux groupes:

equation   (260)

Ce dernier cas étant appelé "mécanisme de solidarité". Ainsi, les bons risques paient pour les mauvais risques...

La variance de la prime pure sera elle donnée par la relation démontrée dans le chapitre de Statistiques (variance de deux séries statistiques):

equation   (261)

où nous voyons que le terme:

equation   (262)

au numérateur correspond à l'homogénéité des deux groupes. Et donc que l'hétérogénéité fait accroître la variabilité de la prime pure dans le mécanisme de solidarité.

Imaginons maintenant le cas où :

equation   (263)

et une assurance privée (1) qui pratique le mécanisme de solidarité et une autre assurance (2) qui ne le pratique pas. Dans le cas présent nous devons distinguer deux situations d'un point de vue économique:

Si tous les assurés sont rationnels (sous-entendus un peu... égoïstes) alors:

- Les jeunes en bonne santé représentant le groupe A vont aller chez l'assurance privée (2) qui a segmenté les risques et permet donc aux jeunes de payer moins cher.

- Les seniors en moins bonne santé représentant le groupe B vont allez chez l'assurance privée (1) qui n'a pas segmenté les risques mais qui par idéologie a appliqué le principe de solidarité.

La conclusion est que l'assurance privée (1) va rapidement faire faillite car:

- Les bons risques ne compensent plus le rabais de solidarité par égoïsme

- Nous sommes sur un marché concurrentiel où les assurances ne sont pas idéologiques...

Ce constant s'appelle le "problème d'antisélection" ou de "sélection inverse" basée sur l'approche G. Akerlof, prix Nobel d'économie en 2001.

La conclusion est que la privatisation des assurances basées sur un principe étatique (législation) de solidarité ne peut pas fonctionner sans engendrer des coûts supplémentaires aux primes pures à cause d'une antisélection périodique qui engendre un flux constant d'assurés d'une assurance à une autre et donc engendre des coûts administratifs et informatiques phénoménaux! Donc en tout point la suppression de la concurrence reste meilleure en terme de solidarité mais par contre pas en termes d'emplois pour les salariés des assurances (qui se trouveraient alors en grande majorité au chômage...).

Ainsi, la suppression de la concurrence pour des services d'assurances qui ont toutes des prestations de qualité équivalentse (comme c'est le cas pour l'assurance maladie en Suisse par exemple...) élimine le principe d'antisélection, applique de manière concrète le mécanisme de solidarité voulu par l'état et enfin diminue les coûts administratifs dus aux va et vient des assurés et des développements d'outils informatiques de gestion maison coûtant des millions à chaque assurance et qui engendrent des coûts qui au final sont répercutés sur le prix de la prime commerciale!

A ceci, il faut rajouter que pour diminuer la volatilité globale (écart-type global), une assurance devrait en théorie segmenter les risques à l'infini ce qui en fait un système non viable pour certains domaines particules de l'assurance.

Mais il faut se rappeler que cette conclusion n'est valable que les prestations des assurances sont identiques (ou quasi-similaires) sur un marché donné!

Signalons également un souci récurrent dans le domaine des assurances, appelé "aléa moral", qui se base sur le constat que les personnes qui s'assurent ont tendance à être mois prudentes que les personnes qui ne s'assurent pas. En d'autres termes, l'assurance génère du risque.

PRISE EN COMPTE DE L'EXPERIENCE

Pour l'instant, pour déterminer une prime d'assurance, nous avons noté qu'il était possible d'intégrer des variables exogènes (sexe, âge, enfants, puissance du véhicule, nationalité, environnement, etc.).

Mais un point important à ne pas négliger est l'expérience sinistre d'un assuré. Voyons en un exemple concret.

Supposons que le nombre de sinistres sur un an, pour un assuré donné, suive une loi de Poisson (loi des événements rares) donnée pour rappel par (cf. chapitre de Statistiques):

equation   (264)

ce qui se note dans le domaine des assurances:

equation   (265)

Supposons que  la population des assurés est séparée en trois classes de risques suivant chacune une distribution de Poisson tel que:

equation   (266)

En d'autres termes, il y a 70% de la population totale qui suit une loi de Poissons d'espérance 1 (classe de bons risques), 20% qui suit une loi de Poissons d'espérance 2 (classe de risque moyenne), et 10% qui suit une loi de Poisson d'espérance 3 (classe de mauvais risques).

Evidemment l'espérance globale d'un individu du portefeuille est alors de:

equation   (267)

Supposons que les coûts d'un incident soient fixes et de type indemnitaires de 1'000.-. Nous pouvons alors nous demander quelle devrait être la prime pour un assuré, sachant que la première année, il a eu 2 sinistres. Ce qui revient à se demander, quelle est le nombre d'accidents qu'il risque d'avoir la deuxième année.

Si nous notons equation le nombre d'accidents de la première année, et equation le nombre d'accidents à posteriori connaissant equation nous nous retrouvons donc avec un problème de probabilité conditionnelle (une démarche bayesienne autrement dit...) conforme à ce que nous avons étudié dans le chapitre de Probabilités:

equation   (268)

Mais nous ne pouvons pas calculer le numérateur car nous ne connaissons pas quelle sera la valeur de equation à l'avance. Nous allons donc calculer l'espérance conditionnelle espérée afin de contourner ce problème:

equation   (269)

Nous avons d'abord:

equation   (270)

Ce dernier calcul étant noté dans le domaine de l'assurance:

equation   (271)

Si nous considérons les deux variables aléatoires comme indépendantes:

equation   (272)

Il vient alors immédiatement que:

equation   (273)

Nous retombons donc sur une valeur connue correspondant à la prime pure:

equation   (274)

identique au calcul de:

equation   (275)

Donc les variables aléatoires equation sont confondues avec celle de la classe de risque!

Ce système n'est alors bien évidemment pas conforme au bonus-malus. Nous devons alors considérer que les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes (au fait c'est la définition même du bonus-malus!).

Ainsi, si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes, nous avons:

equation   (276)

Et alors:

equation   (277)

A comparer avec la prime pure sans bonus malus de 1.4!

Ce qui est délicat avec cette méthode c'est lorsque l'on cumule les années... dès lors cette approche bayésienne devient pénible. Effectivement, imaginons que nous souhaiterions déterminer la prime pure de la troisième année sachant que la deuxième année, l'assuré a eu 1 accident. Nous avons alors l'espérance conditionnelle:

equation   (278)

que nous laissons le soin au lecteur de développer...