VALUE AT RISK



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Les mesures du risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de la diversification de portefeuille à la fin des années 1950, théorie qui devait révolutionner la gestion de portefeuille moderne. Le risque d'un portefeuille était alors relié à la matrices des covariances-variances comme nous l'avons démontré théoriquement et par l'exemple plus haut.

Dans les années 1960, Sharpe a proposé le modèle unifactoriel d'évaluation des actifs financiers où le bêta est le facteur explicatif principal du risque d'un portefeuille via la matrice des bêta.

Au début des années 1990, une nouvelle mesure du risque a fait son entrée (la banque JP Morgan en est à l'origine). En effet, on reconnaissait de plus en plus les limites des mesures traditionnelles du risque. Il fallait se donner des mesures du risque de baisse de la valeur des actifs. Pour ce faire, il fallait trouver des mesures qui sont davantage reliées à l'ensemble de la distribution des flux monétaires d'un portefeuille. C'est dans ce contexte qu'une mesure nominale du risque a été proposée: la VaR.

Cette nouvelle mesure a d'abord servi à quantifier le risque de marché auquel sont soumis les portefeuilles bancaires. En effet, l'Accord de Bâle a recommandé aux banques, en 1997, de détenir un montant de capital réglementaire pour pallier aux risques standards de marché. Or, ce capital est depuis lors calculé à partir de la VaR et est devenue de plus en plus populaire pour évaluer le risque de portefeuilles institutionnels ou individuels (et pas que!). Il n'existe pas cependant une mesure
unique de la VaR. En effet, elle repose sur le concept de volatilité, qui est essentiellement latent. C'est pourquoi les banques se doivent de recourirà plusieurs modèles de VaR de manière à définir la fourchette de leurs pertes éventuelles. Ces calculs sont d'autant plus complexes que la distribution des rendements des titres mesurés à haute fréquence s'éloigne sensiblement de la normale.

Définition: La "Value at Risk" (VaR) est la perte maximale théorique que peut subir un gestionnaire d'un portefeuille (dont la valeur est forcément implicitement variable) et pour une certaine période de temps avec une probabilité cumulée donnée (l'utilisation de la la VaR n'est pas limitée aux instruments financiers, elle est utilisée dans beaucoup d'autres domaines de la gestion du risque en général).

Remarque: La VaR n'est pas réellement pertinente si elle n'est pas présentée avec d'autres indicateurs de risques tels que le ratio de Sharpe, le ratio de Treynor ou encore les coefficients grecques (comme le bêta). Enfin, indiquons que dans la pratique la VaR est indiquée en %.

VAR RELATIVE

Dans le modèle classique de la VaR relative (appelée aussi parfois "VaR Paramétrique"), nous supposerons que la distribution statistique des résultats d'un portefeuille obéit à chaque instant à une loi Normale... que nous noterons par la suite:

equation   (373)

Sous cette hypothèse de normalité, la VaR relative est appelée en toute rigueur "VaR delta-normale".

L'idée suivante est que la variable aléatoire X peut donc être réécrite avec une variable normale centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques) en posant:

equation   (374)

tel que (utilisation des propriétés de base de la loi Normale):

equation   (375)

et cette écriture est donc utilisée dans énormément d'autres domaines que la finance (gestion de projets, assurance qualité, logistique, etc.).

Soit equation le seuil critique associé à la probabilité cumulée visée. Nous pouvons alors écrire:

equation   (376)

qui est une forme intéressante car elle reporte l'analyse du risque et la variabilité sur l'estimation de l'écart-type seul (ce que les financiers apprécient bien...)!

Cette forme d'écriture se vérifie aisément avec MS Excel pour les sceptiques... Considérons un portefeuille P ayant un écart-type annuel de 10% et que nous possédons 1000.- en actifs de ce portefeuille. Nous avons alors à la première année:

=NORMINV(99%;1000;10%*1000)=1000+NORMSINV(99%)*10%*1000 =1'232.6

Soit 99% de probabilité cumulée d'avoir une portefeuille valant entre 0 et 1'232.6.- à tout moment (on considère comme négligeable la probabilité cumulée que le portefeuille ait une valeur négative avec cette écriture).

Mais ce qui intéresse le gestionnaire n'est pas de se couvrir du risque de l'espérance (car il est nul) mais de la volatilité seule! Dans le cas précédent elle est donc de 100.- et suit une loi Normale centrée réduite. D'où la raison de définir la VaR formellement comme étant la relation mathématique qui donne un intervalle de confiance de l'écart-type:

equation   (377)

Ainsi, pour une probabilité cumulée de 99% les logiciels nous donnent en valeur absolue (voir le traitement des intervalles de confiance dans le chapitre de Statistiques):

equation   (378)

où par tradition les financier prennent l'alpha (et donc la VaR) comme étant positif. D'où le fait qu'ils parlent de risque couverts à 99% alors qu'en réalité il s'agit de couvrir un risque qui a 1% de probabilité cumulée d'avoir lieu (mais strictement parlant c'est la même chose simplement que le premier est plus facile à faire comprendre à un client...!!!). Raison pour laquelle on trouve parfois aussi la VaR sous la forme suivante:

equation   (379)

exempleExemple:

Un portefeuille P de valeur 1'000.- a une volatilité annuelle de 10%. La volatilité journalière (instantanée) du rendement est alors de (nous utilisons ici la propriété du mouvement brownien standard):

equation   (380)

où 252 est le nombre de jours de bourse dans l'année dans un pays donné. Soit en numéraires:

equation   (381)

La VaR relative au seuil de 99% à une journée est alors:

equation   (382)

De même sur nous aurions VaR relative annuelle au seuil de 99%:

equation   (383)

Soit une VaR relative de 23.26% (juste histoire de la donner en pourcents comme il est d'usage dans le domaine financier).

Ainsi, en ce qui concerna la VaR annuelle relative, nous avons alors 99% de probabilité cumulée gagner 232.60.- mais aussi de le perdre! Effectivement nous avons 1% de probabilité cumulée d'avoir une perte annuelle de:

=NORMSINV(1%)*10%*1000)=-232.6

donc il faudrait au moins un capital risque (fonds propres) de 232.6.- pour couvrir 99% des risques (couvrir cette probabilité cumulée de 1% d'être dans un mauvaise année respectivement). Nous pouvons aussi dire que nous avons 99% de probabilité cumulée de ne pas perdre plus 232.6.-. Nous retrouvons donc le même résultat numérique qu'avec l'exemple précédent.

Le lecteur remarquera que nous avons donc dans le domaine de la bourse (ceci découle donc du mouvement brownien standard) pour passer d'un horizon temporer à un autre:

equation   (384)

Les financiers appellent cette propriété du mouvement brownien dans le cadre de l'utilisation de la VaR la "scaling law". Elle est autorisée par les accords de Bâle en 1996 qui présuppose une distribution Normale et conseille une horizon temporel de 10 à 30 jours. Nous avions vu cependant lors de notre démonstration du modèle du mouvement brownien standard que nous sous-estimons sous cette hypothèse le risque réel et que ce reflèxe de changement d'échelle via la racine carrée est très critiquée par les spécialistes.

Remarque: Personnellement je préconiserai de couvrir selon la méthode Six Sigma à 99.9996% sur un horizon temporel correspondant au minimum au temps de position moyen. Mais c'est personnel...

VAR ABSOLUE

La mesure de VaR que nous venons de donner est une mesure relative car elle ne tient pas compte de la moyenne des pertes et gains futurs.

Si la volatilité est de 100.- dans l'exemple qui vient d'être donné, la VaR relative est donc 232.6.- Mais comme le profit moyen est généralement non nul sur une longue période de temps, nous devons la plupart du temps utiliser la mesure absolue de la VaR (sur une très courte période le profit étant considéré comme parfois nul, on s'en tient au calcul de la VaR relative).

Rappelons d'abord que suite à notre étude du modèle de Bachelier nous avons démontré que l'espérance positive de la valeur (ou rendement) ainsi que l'écart-type positif d'un portefeuille est proportionnelle à la racine carrée du temps.

Supposons que la période d'observation t soit en mois. Le rendement mensuel espéré pour le portefeuille de valeur initiale S est alors de equation (son espérance donc..!.) et la variance mensuelle de son rendement de equation.

Sa VaR relative au seuil de confiance equation est donc après t mois de (vous pouvez vérifier que la relation est bien homogène!) :

equation   (385)

comme nous avons pu le vérifier dans l'exemple précédent (donc jusqu'ici rien de nouveau...). La racine carrée du temps provient, pour rappel, du modèle de Bachelier (mouvement brownien standard).

Remarque: Contrairement à ce que nous avions vu lors de notre étude des seuils/intervalles de confiances dans le chapitre de Statistiques, nous ne divisons pas par 2 l'argument de la fonction MS Excel NORMALSINV() pour obtenir le equation dans la situation ci-dessus car ce qui nous intéresse c'est seulement un côté de la courbe centrée réduite (le côté "pessimiste") et non les deux.

Si nous reprenons le même exemple que précédemment (portefeuille de 1'000.- avec 10% de volatilité annuelle). La VaR relative est donc sur une projection de 30 jours de:

equation   (386)

Mais cette dernière relation ne tient donc pas compte du rendement moyen espéré equation du portefeuille dans le temps. La VaR absolue est donc obtenue en retranchant ce rendement à la VaR relative sur la même période temporelle, c'est-à-dire:

equation   (387)

où nous faisons l'hypothèse particulière que le rendement est donc linéairement dépendant du temps (conformément à la construction semi-empirique du mouvement brownien standard). La VaR absolue est donc bien évidemment inférieure à la VaR relative de ce montant.

Mentionnons que le calcul de la VaR absolue peut être considéré comme vicieux ou ayant peu d'intérêt car il suppose que la gain obtenu grâce au rendement sera placé dans les fonds propres pour financer la VaR relative. Or, dans la majeure partie des cas les gains seront replacés.

Reprenons quand même notre exemple habituel sous cette hypothèse (portefeuille de 1'000.- avec 10% de volatilité annuelle) avec un rendement annuel de 15%. Nous avons alors:

equation   (388)

Concrétement, si les nous financons la VaR avec les gains alors sur une année il suffit d'avoir 82.6.- de fonds propres. Dans la pratique il peut-être intéressant de savoir à partir de combien de temps les gains couvrent la totalité de la VaR. Dans ce cas il s'agit d'un simple équation du deuxième degré tel que:

equation   (389)

et nous trouverions dans notre exemple 2.4 années. Concrétement après 2.4 années les gains auront couvert la totalité des risques selon les hypothèses de construction...

VaR Historique

Une troisième manière pragmatique de calculer la VaR relative est basée sur les données historiques. Il s'agit de la manière la plus simple de faire le calcul avec la facilité d'utilisation des tableurs existant aujourd'hui.

Supposons pour l'exemple que nous ayons les cent dernières performances journalières d'un portefeuille. Les dix plus mauvaises performances journalières sont données ci-contre par ordre croissant:

Données Historiques

-19'000

-16'450

-15'000

-12'500

-11'950

-11'250

-11'050

-10'600

-10'500

-10'250

...

Tableau: 3 - Performances journalières d'un portefeuille

La VaR relative à 95% pour 1 jour consiste alors à déterminer le 5ème centile. Comme nous avons 100 échantillons, il est facile de déterminer qu'il s'agit de la 5ème valeur dans l'ordre croissant des valeurs. Donc:

equation   (390)

Comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Statistique, dans les tableurs nous utilisons la fonction CENTILE( ) qui n'est pas forcément calculé de la même manière d'un logiciel à l'autre.

VaR Variance-Covariance

La VaR variance-covariance est basée un cas plus réaliste du calcul de la VaR sur un portefeuille basé sur plusieurs actifs financiers corrélés ou non (contrairement aux cas précédents où nous avions qu'un seul actif).

Considérons pour introduire ce concept un portefeuille P1 de 5'000'000.- de volatilité journalière de 2% (soit de 100'000.-/j.) et un deuxième portefeuille P2 de 7'000'000.- de volatilité journalière de 1% (soit de 70'000.-/j.).

Nos mesures montrent que leur coefficient de corrélation equation est de 0.6. L'écart-type global journalier est alors de (cf. chapitre de Statistiques):

equation   (391)

Ainsi, la VaR relative journalière à 99% pour le portefeuille global est de (pas de scaling law à appliquer ici puisque l'écart-type est journalier et que nous voulons la VaR relative journalière):

equation   (392)

Il est intéressant de comparer de VaR relative journalière à la somme des VaR relatives des deux portefeuilles:

equation   (393)

Nous avons:

equation   (394)

Ceci est dû au gain de diversification!

Remarque: Un piège dans le calcul de la VaR relative variance-covariance aurait été de calculer l'écart-type global en % et ensuite de l'appliquer dans la relation du calcul de le VaR globale. Le résultat aurait dès lors été erroné!

Rappelons pour clore à quoi sert la VaR? Mentionnons d'abord qu'elle se révèle d'une grande utilité puisqu'elle est mesurée en termes nominaux. Une fois qu'une institution financière a calculé sa VaR globable, c'est-à-dire la perte maximale qu'elle peut encourir sur l'ensemble de son bilan pour une probabilité prédéterminée, il lui est loisible de se servir de ce montant pour déterminer le capital (avoir propre) minimal qu'elle doit maintenir pour ne pas s'exposer à la faillite. Si en effet elle détient un capital moindre et que la perte maximale probabiliste se produit, son avoir propre sera négatif et elle devra peut-être déposer son bilan.

La VaR est donc très utile pour une institution financière, car elle lui permet de déterminer le niveau du capital qu'elle doit maintenir pour survivre.  Quand la VaR est utilisée à cette fin, nous l'appelons plus communément CaR pour "Capital at Risk", c'est-à-dire que le capital que doit maintenir une institution financière est calculé ou évalué selon les risques auxquels ell est exposée. Plus le risque est important, plus elle devra maintenir un capital élevé. Cela apparaît bien raisonnable, car le capital détenu par une institution financière est d'abord et avant tout un file et sécurité. Pour une banque, il vise à protéger les dépôts à son passif. La VaR se présente donc comme une mesure appropriée pour définir le capital réglementaire que doit détenir une institution financière. C'est pourquoi le Comité de Bâle, chapeauté par la Banque des Règlements Internationaux, retenait cette mesure pour calculer le capital réglementaire d'une institution de dépôts en 1995 et qui est devenue effective en janvier 1998. Celles-ci doivent maintenant calculer leur exposition au risque en recourant à la VaR et tester sa justesse en faisant des "stress tests" (confronter les calculs à des variations extrêmes) ainsi qu'à des "back testing" en vérifiant que les grandes déviations (en dehors de l'intervalle de confiance) n'ont pas lieu plus 5 fois par année boursière.


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