THéorie moderne des PORTEFEUILLES



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

La théorie du marché des valeurs dite aussi "théorie moderne du portefeuille" est la théorie mathématique qui traite du choix, de la gestion et des opérations des échanges des emprunts, prêts et capitaux . Elle fait très fortement appel aux modèles statistiques et il est donc important d'avoir lu et compris le chapitre y relatif sur le site au préalable.

Il faut cependant savoir qu'en pratique, dans les banques, seulement une infime minorité des acteurs du marché connaissent, comprennent et appliquent des modèles mathématiques et pour les autres ayant obtenus des certifications ou diplômes de formation continue, le niveau est affligeant. La gestion financière n'est donc finalement souvent que l'application du bon sens (quand il est présent...) sur la variation des prix sur les quantités...

Il faut savoir cependant que beaucoup sont pérsuadés que tout est écrit quelque part (croyance probablement assez ancrée dans la culture occidentale), qu'une sorte de réalité assez abstraite existe en dehors de notre monde concret et que si nous étions assez malins nous pourrions la formaliser mathématiquement et prévoir les évolutions futures sur le long terme. Au fait le scientifique sait lui que nous avons affaire dans ce genre de domaine à un chaos déterministe du marché et que la seule manière de gérer celui-ci est de corriger au jugé avec une vague idée de ce qui va se passer. En économie les spécialistes parlent de la "dictature des marchés", mais c'est reconnaître en un sens que nous ne savons rien prédire! Évidemment, certains, dans les milieux de la complexité, vendent aux banquiers et à d'autres l'idée qu'ils sauront prédire les flucturations de la Bourse... mais il suffit d'observer le passé pour voir qu'aucun modèle moderne n'aurait su le prédire. La seule chose que les mathématiques peuvent faire dans la gestion financière c'est d'analyser le comportement d'un actif financier idéalisé dans un cadre qui l'est lui aussi et c'est déjà pas mal et force un peu au bon sens... (pour ceux qui savent faire de maths ce qui est très loin du cas du 99% des personnes travaillant dans la finance).

En finance, les modèles mathématiques servent donc à mesurer et quantifier le risque des investissements. À ce titre, ils jouent le rôle d'outils d'aide à la décision pour les gestionnaires les investisseurs et les régulateurs. Mais, à de rares exceptions près, une banque ou un fonds d'investissement ne fonde pas une décision majeure d'investissement sur une équation mathématique. La décision, pour les banques d’investissement est souvent motivée par la recherche de rentabilités toujours plus grande et pour cela elles ne s'appuient pas sur des modèles mathématiques. Par ailleurs les personnes dirigeantes des banques sont souvent des personnes issues du monde de la politique, du droit ou de la gestion d'entreprise avec peu de compétence pour comprendre réellement le fonctionnement des marchés.

Définitions: La "Bourse" ("Stock Exchange") est le marché public où s'échangent des titres (actions, obligations, contrats, options, etc.) dont la valeur va fluctuer relativement à la "valeur fondamentale" (valeur de base calculée selon des modèles théoriques) au gré de l'offre et de la demande. Lorsqu'un titre est beaucoup demandé, son prix monte, et inversement, lorsque personne n'en veut.

La Bourse est une structure qui permet :

1. Pour les entreprises qui veulent investir (donc augmenter leur capital) d'obtenir des fonds afin de satisfaire le demande potentielle.

2. De rendre au plus stable l'économie en la rendant la plus dynamique et fluide possible (mais sous contrôle quand même...) dans le but qu'elle s'auto-régule.

Le système cité ci-dessus fonctionne si et seultement s'il est transparent, rationnel, efficient, autorégulant et équilibré!

Remarque: Nous parlons de "bulle spéculative" lorsque les prix observés sur un marché boursier s'écartent trop de la valeur fondamentale des bien échangés.

Avant de commencer à s'attaquer à la mathématique pure et dure, il va nous falloir au préalable donner encore une fois un grand nombre de définitions pour s'habituer au vocabulaire usité par les analystes et ingénieurs financiers (attention c'est relativement long...).

ABSENCE D'OPPORTUNITÉ D'ARBITRAGE (AOA)

L'une des hypothèses fondamentales des modèles financiers usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée "absence d'opportunités d'arbitrage" (A.O.A.). Elle est justifiée théoriquement par l'unicité des prix caractérisant un marché en concurrence pure et parfaite.

Pratiquement, il existe des arbitrages mais qui disparaissent très rapidement du fait de l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.

Ainsi, si plusieurs actifs de même risque proposent des rendements différents, les investisseurs qui recherchent de nouvelles opportunités vont logiquement tourner leurs achats sur ceux dont le rendement est le plus élevé, ce comportement entraine alors une baisse du rendement de ces actifs.

Ainsi, les mathématiques financières reposant sur l'A.O.A. laissent ces arbitragistes gagner de l'argent ainsi et négligent ces apparitions d'opportunité qui de toute façon n'existent toujours que sur un temps très supposé très bref (ce type de stratégie est mise à profit aujourd'hui avec l'informatique qui peuvent donner des ordres de vente et d'achat à la milliseconde près).

Un exemple royal pour illustrer ces propos est d'utiliser une version simplifiée du modèle élaboré par Cox, Ross et Rubinstein car il traduit explicitement le concept de l'A.O.A. et l'importance des modèles probabilistes.

L'exemple se base sur l'hypothèse que la marché est formé d'un actif risqué et d'un taux de placement constant r. Par exemple, une somme de un dollar aujourd'hui, placée aux taux r, engendre un revenu certain et garanti de 1+r dollars au temps 1 quelle que soit l'évolution future du marché dans l'exemple considéré

Nous commençons à étudier ce marché sur une seule période de temps telle que le temps initial sera noté equation et l'instant final equation (nous appelons une telle situation un "marché monopériodique). Nous supposons parfaitement connaître le marché à l'instant initial. Dans notre contexte cela signifie que le prix de l'actif risqué est equation fixé et l'actif non risqué est déterminé par son rendement equation.

Quant à l'actif risqué, sa valeur à equation n'est pas connue à l'avance. Afin de restreindre le champ des possibles, nous supposerons que le rendement de cet actif peut prendre que deux valeurs b (bas) et h (haut) avec:

equation   (1)

Ainsi, l'actif risqué au temps equation peut prendre que deux valeurs positives. La valeur basse:

equation   (2)

ou la valeur haute:

equation   (3)

d'où l'appellation de "modèle binomial"...

Un investisseur peut ainsi acheter une quantité equation d'actif risqué et placer une somme equation au taux r . La valeur equation au temps equation du portefeuille de composition equation est donc:

equation   (4)

A l'instant final, nous aurons donc:

equation   (5)

Comme nous l'avons expliqué plus haut, equation peut prendre deux valeurs, il en est donc de même pour equation. Ce qui signifie que le revenu de ce portefeuille est incertain.

Maintenant, pour montrer le concept de A.O.A. passons à une application numérique en considérant la situation particulière où il est plus avantageux, et à coup sûr, d'investir dans l'actif risqué que le non risqué.

Imaginons pour cela que nous empruntons 100.- à une banque au taux sans risque de 5% et que l'actif risqué que nous souhaitons acquérir avec cet argent est coté aujourd'hui à equation et peut prendre deux valeurs futures:

equation   (6)

Nous avons alors pour notre portefeuille à l'instant initial:

equation   (7)

et à l'instant final deux cas possibles:

equation   (8)

et:

equation   (9)

Nous voyons alors de manière triviale que si equation il existe alors une opportunité d'arbitrage puisqu'il devient possible de gagner de l'argent à coup sûr sans en dépenser! Pour éviter une A.O.A. dans cette situation, il faut donc que le marché s'équilibre et qu'il y ait:

equation   (10)

Inversement, s'il est plus sûr d'investir dans l'actif non risqué que dans l'actif risqué, le marché doit s'assurer pour éviter toute opportunité d'arbitrage que:

equation   (11)

Ainsi, dans les deux cas, il faut éviter à tout moment que dans le marché binomial nous ayons une A.O.A. Et cela est seulement possible si:

equation   (12)

PORTEFEUILLES

La majorité des transactions boursières concernent le contenu des "portefeuilles de titres" (security portfolio) qui sont l'ensemble des titres qu'un acteur du marché peut détenir. Gérer un portefeuille consiste donc (le plus classiquement...) pour un gestionnaire à chercher un retour sur investissement (RSI) maximal pour le client tout en minimisant les risques.

Remarque: Le RSI est aussi parfois appelé "rendement" ou "taux de rendement" ou "taux de profit" et désigne donc un ratio financier qui mesure le montant d'argent gagné ou perdu par rapport à la somme initialement investie dans un investissement (souvent sur la base d'une période annuelle). En général, ce ratio est exprimé en pourcentage plutôt qu'en valeur décimale.

Les "titres financiers" (financial security) se dérivent sous la forme d'actions, d'obligations, d'options de devises et de matières premières tous appelés plus généralement "produits financiers" ou encore "actifs financiers" et dont les définitions (non exhaustives) seront données ci-dessous.

Définitions:

D1. Pour mesurer l'évolution générale d'un marché boursier, nous utilisons des "indices" reflétant la moyenne arithmétique (Down Jones Index par exemple) ou la moyenne pondérée (Swiss Market Index par exemple) des cours (valeurs) d'un certain nombre de titres représentatifs. Cela permettant d'en connaître le rendement.

D2. Un "produit dérivé" est un produit/instrument financier, qui s'achète et se vend, et qui est toujours bâti sur la base d'un titre financier. Ce dernier est alors appelé "actif sous-jacent" du produit dérivé. Ceux-ci peuvent donc être des actions, des obligations, des devises, ... et même des produits dérivés... Le danger avec les produits dérivés est, à force de les superposer de ne plus savoir exactement quels sont les sous-jacents.

D3. La "volatilité" mesure l'amplification de la variation d'un cours. Autrement dit, un titre financier dont la volatilité est élevée signifie que son cours varie fortement, voire de façon exagérée sur une période donnée. A l'inverse, un titre dont la volatilité est faible signifie que son cours varie peu et/ou de manière assez cohérente. La volatilité s'exprime en pourcentage dans les modèles mathématiques simples (car il en existe plusieurs définitions dont nous verrons certaines par la suite). Ainsi, la volatilité d'un titre sur une période donnée est définie par:

equation   (13)

ACTIONS

Définition: Les "actions" sont des papiers-valeurs reconnaissant par contrat des droits de propriétés sur le capital valeur d'une entité dite "société anonyme". Ce contrat a un prix et il est échangeable sur le marché.

L'action donne à son propriétaire des droits de différente nature de types tels que les droits sociaux (droit de vote aux assembléess générales, droit d'élection et d'être élu au conseil d'administration) ou patrimoniaux (droite de recevoir une part du bénéfice net, sous forme de "dividende" variable, ou une part du produit de la liquidation de la société si elle tombait en faillite, ainsi qu'un droit préférentiel d'acheter de nouvelles actions en cas d'augmentation du capital).

Définition: Il y plusieurs types de "rendement boursier" en fonction du contexte d'une discussion qui sont pour certaines intuitives et pour d'autres assez complexes. Voici deux des plus courantes (nous en verrons d'autres par la suite...) à notre connaissance lorsque l'on aborde pour la première fois les mathématiques financières:

- Il y a le rapport, exprimé en pourcentage et appelé "yield", entre le dividende par action distribué par une société et le cours de l'action en circulation de cette société au moment du versement du dividende (certains prennent parfois la moyenne arithmétique des dividendes versés sur plusieurs périodes):

equation   (14)

- Il y a le rapport, exprimé en numéraire par année et appelé "rentabilité de l'action", de la différence entre le cours d'achat de l'action majoré par les dividendes et le cours de vente de l'action de cette société sur le nombre de périodes:

equation   (15)

Si nous divisons le résutat de ce dernier rendement numéraire annuel par le capital initial investi, nous obtenons le rendement en pourcentage.

exempleExemple:

Prenons une action remboursable achetée il y a 6 ans au prix de 10.- (capital investi). L'investisseur la vend à 12.50.- L'investisseur à reçu 3 fois un dividende de 2.20.- plus une fois un de 1.-. Les deux types de rendements donnent alors respectivement:

equation   (16)

et si nous divisons ce dernier par le capital initial investi (10.-), nous obtenons donc 16.8%.

Remarques:

R1. Nous différencions les "actions au porteur" négociable sans restrictions en Bourse et les "actions nominatives" dont la valeur doit être négociée avec des restrictions juridiques plus ou moins complexes car il y figure le nom de l'actionnaire qui doit être inscrit au registre des actionnaires.

R2. Lorsqu'une société anonyme veut augmenter sont capital-actions, elle peut émettre des actions supplémentaires. Les nouvelles actions seront proposées aux actionnaires de la société à un cours fixe et en proportion des actions qu'ils détiennent ("droit de souscription"). Ce qui leur permettra de maintenir le pourcentage de leur part au capital, ainsi que le poids de leurs droits de vote.

OBLIGATIONS

Contrairement à l'emprunt individuel (emprunt indivis), l'emprunt dit "emprunt obligataire" fait appel à de nombreux prêteurs, appelés "souscripteurs", qui reçoivent, en échange de sommes prêtées, des titres appelés "obligations".

Définition: Les "obligations" sont des papiers-valeurs (titres de créance) établissant par contrat des droits de créance (capital prêté) et qui rapportent un intérêt fixe au titulaire (elles sont remboursables à une échéance prévue par le contrat). Ce contrat a un prix (dépendant de la date!) et il est échangeable sur le marché et le débiteur est obligé de payer le intérêts. Par ailleurs si l'obligation est "convertible" elle donne droit au créancier d'obtenir le remboursement de l'obligation, soit sa conversion en actions, suivant des modalités fixées d'avance.

Nous distinguons principalement quatre types d'obligations:

T1. "Obligation à taux fixe" qui est la plus classique des obligations. Elle verse un flux d'intérêt définitivement fixé lors de son émission selon une périodicité prédéfinie jusqu'à son échéance (ce qui est sécurisant). Ce n'est cependant pas un investissement sans risque comme nous le verrons dans un exemple simple plus loin.

T2. "Obligation à taux variable" dont les flux d'intérêt, mais pas le prix de remboursement, sont indexés sur un taux de référence comme le taux directeur d'une banque centrale, les résultats d'une entreprise, ou autre. Le risque associé à ce taux variable est appelé "risque de taux".

T3. "Obligation indexée" dont les flux d'intérêt et le prix de remboursement sont indexé sur un taux de référence qui peuvent être du même type que ceux précités.

T4. "Obligation zéro-coupon" qui ne comportent que deux flux financiers : un flux initial et un flux final, sans aucun paiement intermédiaire. C'est la moins risquée de toutes les obligations.

Les obligations sont caractérisées par plusieurs propriétés:

P1. Leur "devise" de base qui peut fluctueur sur un marché global.

P2. Leur "date d'échéance" ou "date de maturité" qui permettra en fonction de leur date d'émission et du type de calendrier (échéancier) de connaître la valeur actualisée de l'obligation à tout moment.

P3. Leur "valeur nominale", appelé le "pair", désigne la valeur servant au calcul des intérêts.

P4. Leur"taux d'intérêt nominal" associé à la périodicité (souvent annuelle) permet de définir l'intérêt appelé "coupon" ou "coupon de dividende" appliqué sur la valeur nominale d'une obligation qui sera versée au souscripteur à la date dite "date de jouissance". Normalement le mode de calcul du taux d'intérêt doit être communiqué.

P5. Leur "prix d'émission", "prix de souscription", ou encore "prix de remboursement" (en pourcentage du pair) est le prix réellement payé par le souscripteur pour devenir propriétaire d'une obligation. L'émission des obligations se fait donc au pair si la valeur nominale est égale à la somme demandée pour son acquisition. Elle se fait au-dessus du pair si la somme demandée est supérieure au nominal, la différence étant appelée "prime d'émission".

P6. Leur "prix de remboursement" est la somme réellement versée à l'emprunteur lors du remboursement de l'obligation à échance. Le remboursement peut être prévu au pair ou parfois en-dessus à l'échéance (in fine), par tranches, ou jamais (obligation perpétuelles).

Remarque: L'investisseurs doit être particulièrement attentif à l'indication "subordonné" sur son papier d'obligation, qui signifie qu'en cas de faillite du débiteur (assimilé au "risque de signature"), le détenteur de l'obligation ne pourra être remboursé qu'après tous les autres créanciers... Le risque de signature peut être évité en choisissant des obligations (très) sûres comme les obligations d'état ou de sociétés renommées. Le revers de la médaille est la faiblesse des taux alors offerts qu'il faut en plus mettre en opposition à l'inflation (sur un taux de 3% sur dix ans d'une obligation d'état qui subit une inflation de 2% il reste plus que 1% de rénumération par exemple).

exempleExemples:

E1. Considérons un emprunt obligatoire de 3'000'000.- divisé en 300 obligations de 10'000.- nominal émis en juin 2004 pour une durée de 10 ans. Souscription : 99.5% de la valeur au pair. Remboursement au pair à l'échéance. Intérêt annuel : 4.5%.

Les valeurs définies plus haut s'expriment alors ainsi :

La valeur nominale C de l'obligation est donc de 10'000.-. Le nombre N d'obligations est de 300. La durée n de l'emprunt est de 10 ans et le taux t% de 4.5. Le prix d'émission est le 99.5% de 10'000.- soit E=9'950.-. Le remboursement R est au pair et vaut donc 10'000.- et le coupon à une valeur c de 450.-.

E2. Soit une obligation à taux fixe, émise au prix de 1'000.-, et versant un coupon annuel de 100.-. Le taux servi est donc de 100/1'000=10%.

Supposons que les taux du marché passent à 15%. Cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 150.- (car 150/1'000=15%).

La nouvelle obligation est donc plus intéressante que l'ancienne, et tout le monde va vouloir vendre l'ancienne pour acheter la nouvelle. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implictement baisser, jusqu'à ce qu'il corresponde à une rémunération de 15%, soit ici 666 francs. Alors, nous aurons bien 100/666=15%.

De même, si les taux du marché baissent à 5%, cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 50.- (car 50/1'000=5%).

La nouvelle obligation est donc moins intéressante que l'ancienne, et personne ne voudra l'acheter. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implicitement monter, jusqu'à ce qu'il corresponde à une rémunération de 5%, soit ici 2'000.-. Alors, on aura bien 100/2'000=5%.

Ainsi, le prix d'une obligation à taux fixe diminue implicitement lorsque les taux montent, et monte lorsque les taux baissent. C'est la raison pour laquelle un placement en obligations n'est pas sans risques: on peut perdre une partie du capital. En fait, la seule stratégie sans risque consiste à acheter les obligations au moment de l'émission, et à les garder jusqu'à l'échéance.

A tout moment, la valeur actuelle sur le marchée d'une obligation doit donc être égal à la valeur des coupons et du remboursement auxquels elle donnera encore droit. La valeur actuelle étant calculée au taux du marché obligataire en vigueur pour des obligations du même type et de même durée.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation à taux fixe doit être vue comme un capital initial dont on retire pendant n périodes restantes une certaine somme fixe , somme correspondant au prix du coupon:

equation   (17)

avec C la valeur nominale de l'obligation et le tout cumulé étant périodiquement soumis à l'intérêt du taux du marché equation constant dans le cadre d'une considération d'un avenir certain.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation est dans un premier temps constituée que de la valeur actuelle des coupons futurs restant pendant n périodes tel que :

equation   (18)

Cette partie du prix de la valeur de l'obligation correspond donc à la somme totale nécessaire tel que l'on peut solder equation après avoir retiré n fois (le nombre de périodes restant) la valeur c à un taux d'intérêt equation.

Ensuite, l'obligation est constituée de la valeur du remboursement R. Bien que celle-ci soit remboursée à terme, elle peut être vue comme un capital épargne à un taux correspondant à celui du marché equation tel que :

equation   (19)

La valeur actuelle de l'obligation concernant le remboursement est alors :

equation   (20)

ce qui correspond au capital actuel pour obtenir le remboursement R pendant les n périodes restantes.

Ainsi, le prix total d'une obligation est :

equation   (21)

c'est-à-dire la valeur actuelle des coupons futurs ainsi que la valeur actuelle du remboursement in fine. Cette relation à son importance en finance, il convient de s'en souvenir!!

La valeur d'une obligation, au sens de son cours en Bourse, peut donc différer de sa valeur nominale fixée à l'émission si les taux d'intérêts changent sur le marché d'où l'intérêt de calculer sa valeur actuelle.

exempleExemple:

Soit à calculer le prix actuel d'un obligation, ayant des coupons annuels de 450.-, avec un remboursement au pair dans 5 ans de 10'000.-.

La valeur actuelle pour un taux du marché compris entre 0% et 100% à la caractéristique suivante :

equation
  (22)

Evaluer une obligation revient donc à trouver ce qu'elle devrait valoir en principe dans les conditions actuelles du marché, donc son cours potentiel, par une opération mathématique dite "opération d'actualisation" déterminant sa valeur actuelle théorique. Il s'agit donc comme nous le savons déjà de calcul actuariel.

L'obligataire aura évidemment pour objectif de chercher le taux du marché qui permet de faire de son investissement une action rentable. Ainsi, nous définissons le " taux de rendement actuariel" (TRA) x comme étant l'intérêt du marché qui permet de satisfaire les relations suivantes, en fonction de la durée restante à courir n de l'obligation.

Ainsi, à l'émission :

equation   (23)

ou à une date quelconque :

equation   (24)

Le taux de rendement actuariel d'une obligation est donc le taux x qui annule la différence entre la valeur du prix d'émission E et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle génère. Ce taux est calculé au jour du règlement et figure obligatoirement dans les brochures d'émission. Pour l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel représente le taux de rentabilité qu'il obtiendrait en gardant l'obligation jusqu'à son remboursement et en réinvestissant les intérêts au même taux actuariel.

Voyons quelques autres définitions utiles relatifs aux obligations :

Définitions:

D1. Le "coupon échu" (C.E.) d'une obligation est payé à son propriétaire sous déduction de equation d'impôts anticipés. Ainsi, le calcul du coupon net annuel d'obligations à X.- (valeur monétaire) à rendement de equation est trivialement donné par :

equation   (25)

D2. "L'intérêt couru" (I.C.) est le montant de l'intérêt qui s'est accumulé depuis la dernière date de paiement de l'intérêt, mais qui n'est pas encore dû. Il est gagné par une obligation depuis sa dernière échéance et est déterminé lors d'une vente ou d'un inventaire. Son calcul est trivialement donné par :

equation   (26)

equation est bien évidemment le nombre de jours compris entre la date de la dernière échéance et la date de jouissance (l'année commerciale étant définie comme ayant 360 jours).

Remarque: Donc pour obtenir la valeur effective d'une obligation, nous ajoutons à sa valeur cotée l'intérêt couru depuis la dernière échéance.

D3. Par extensions, si nous cherchons à calculer la valeur nette de X coupons à Y%  dont la valeur nominale vaut Z avec un impôt anticipé de IA% , nous calculons le "coupon annuel net à l'échéance" (C.P.A.E.) par la relation triviale :

equation   (27)

Contrairement au calcul de l'intérêt couru , le calcul du dividende couru est impossible. Le cours de l'action est toutefois influencé par la date plus ou moins proche du paiement du dividende.

BONS DE SOUSCRIPTION

Définition: Un "bon de souscription", également appelé "option de souscription" ou "stock-option", est un titre financier permettant (donc il n'y a pas obligation!) de souscrire pendant une période donnée, dans une proportion et à un prix fixé à l'avance (souvent une moyenne des cours de la bourse avant l'émission des bons), à un autre titre financier sous-jacente (action, obligation, voire un autre bon...).

Le bon permet donc d'être intéressé à la hausse ou à la baisse d'une action sans avoir à y consacrer le même montant de capitaux qu'en achetant directement des actions. Ainsi, lors de l'acquisition, si le titre sous-jacent à une valeur plus élevée que sur le bon de souscription, l'acquéreur fera un bénéfice qui est appelé "plus-value d'acquisition". Ensuite, l'acquéreur qui possède maintenant les titres sous-jacents peut très bien vendre ceux-ci lorsque le prix est plus élevé que lorsqu'il en a fait l'acquisition et cela engendre alors un (pseudo) second bénéfice appelé "plus-value de cession".

Un bon de souscription peut être donc attaché à l'émission d'une action ou d'une obligation. Alors, selon les cas, nous parlons "d'actions à bons de souscription d'actions" (ABSA) ou "d'obligations à bons de souscription d'actions" (OBSA) mais également "d'obligations à bons de souscription d'obligations" (OBSO) ou "d'actions à bons de souscription d'obligations" (ABSO).

Dès l'émission de ces valeurs composées, le tout se scinde en parties : les actions ou les obligations redeviennent des titres classiques et les bons acquièrent une vie propre. Ils sont cotés séparément après l'émission.

Les "plans de souscription", plus connus sous le nom de "plan de stock-options", sont des paquets d'émission de bons de souscription (nominatifs) destinés aux employés méritant méritant d'une entreprise et visent très souvent à renforcer l'association au développement entre cette même entreprise et ses salariés. Ainsi, ces derniers lors de l'acquisition des titres seront des actionnaires à part entière, recevant des dividendes et pouvant participer aux assemblées des actionnaires. Ce qui est censé accroître la motivation de l'employé (...).

Par ailleurs, les stock-options (données par l'entreprise), sont des actifs financiers sans risques puisqu'il n'y a aucune obligation des les appliquer et qu'ils ont été offerts... Précisons aussi que bon nombre d'entreprises annulent les bons de souscription des employés qui les quittent...

exempleExemple:

Le bon de la société X permet de souscrire à une action de cette société au prix de 500.- jusqu'au 30 avril 2004. Si l'action X dépasse le niveau de 525.-, le bon qui permet de se procurer une action à un coût inférieur au cours de Bourse se révèle un placement gagnant. Si l'action X vaut par exemple 1'000.- en avril 2004, le bon vaudra 475.- (1'000.- moins le prix d'exercice de 525.-).

Remarque: Le développement de la liquidité sur les marchés d'actions et d'obligations a incité les établissements financiers à émettre des bons de souscription permettant de faire l'acquisition de titres financiers existants indépendamment des opérations financières de la société concernée. Sauf exception, ceux-ci ne concernent que les investisseurs entre eux et ne permettent donc pas le financement de l'entreprise. Ces bons (également cotés) sont fréquemment appelés "warrants" ou, plus précisément "covered warrants" (warrants couverts) car, dès l'émission, l'établissement financier se couvre en rachetant des titres sur le marché.

D'un point de vue conceptuel, un bon est assimilable à une option d'achat (Call) vendue par une société sur des actions à émettre ou existantes (voir plus loin la définition détailée de ce qu'est une option). Le prix d'exercice de cette option est le prix auquel le détenteur du bon peut acheter le titre financier correspondant et l'échéance de l'option est celle du bon.

Cependant, l'évaluation d'un bon présente quelques particularités par rapport à une option :

- Un bon a généralement une durée de vie longue (2 à 4 ans) et rend difficilement acceptable l'hypothèse de constance des taux d'intérêt utilisée par le modèle de Black & Scholes (voir la démonstration de ce modèle plus loin).

- Toute opération de l'entreprise émettrice qui modifie la valeur du titre sous-jacent affecte la valeur du bon. Effectivement, les entreprises ont le droit de réserve légal d'émettre un nouveau contrat pour les bons de souscription et d'en changer la valeur et la période de temps de validité!

- Si le titre sous-jacent est une une obligation, son prix évoluant dans le temps et sachant que plus une obligation se rapproche de son échéance, plus sa valeur tend vers son prix de remboursement. Sa volatilité se réduit progressivement ce qui rend inapplicable le modèle de Black & Scholes qui postule la constance de la volatilité dans le temps!

Les opérateurs utilisent alors des modèles dérivés de Black & Scholes pour remédier à ces lacunes et évaluer le prix des bons de souscription.

CONTRATS À TERME

Ce type de contrat est symétrique, c'est-à-dire que chaque contrepartie a autant de chance de gagner ou de perdre de l'argent.

Définition: Un "contrat à terme" ou "forward" est un contrat d'achat ou de ventre d'un produit financier, passé entre deux contreparties, dont toutes les caractéristiques sont fixées à l'avance : date de réglement, prix à terme, etc. Le prix conclu est appelé "cours à terme" ou aussi... "forward", et l'échange se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à la date de livraison.

Deux types d'exécution peuvent se produire :

- Les "physical settlement" : le sous-jacent est effectivement échangé (ce qui est rare)

- Les "cash settlement" : si le cours du sous-jacent est en dessous du prix fixé, l'acheteur (du contrat à terme) se fournit sur le marché et vers la différence au vendeur et inversement.

L'intérêt des contrats à terme pour les intervenants est de figer des cours dans le futur : il s'agit dans ce cas d'une opération de couverture.

exemple Exemple: Un industriel suisse sait qu'il doit recevoir en dollars une forte somme d'argent dans six mois. Pour se couvrir contre une baisse du dollar, il achète un contrat à terme, d'échéance 6 mois sur le dollar, en francs suisse. Notons que cette opération de couverture du risque de change peut lui être défavorable si dans six mois, le contrat cête moins que le taux de change.

OPTIONS

Les options sont des "actifs conditionnels" ("contingent claim"), c'est-à-dire une forme particulière d'un titre (contrat), donnant à son détenteur contre le paiement d'une somme d'argent le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre une certaine quantité d'un actif financier (action ou obligation), à ou jusqu'à une date (échéance ou maturité) et à un prix fixé d'avance.

Il s'agit principalement d'un produit dérivé permettant de se couvrir des risques de variations des marchés. Par exemple, si Airbus vend un avion en dollars masi produit dans la zeon euro. Le prix de vent est fixé aujourd'hui, mais la vente est réalisée à la livraison! Airbus doit alors se protéger contre le risque du taux de change (qui peut parfois être de 100% en quelques années seulement). En général, les entreprises se protègent de ces risques en achetant auprès des banques des produits dérivés comme des options.

Remarque: Nous reviendrons plus loin plus très en détail sur les options qui sont des produits dérivés importants.

Définitions:

D1. Une "option" est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation, d'acheter ("option d'achat", appelée aussi "Call") ou de vendre ("option de vente", appelée aussi "Put") une quantité donnée d'un actif sous-jacent S (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, autre produit dérivé, etc.) à un prix fixé d'avance appelé "strike" K ou "prix d'exercice" E et durant (jusqu'à) un certain temps appelé "échéance" ou "maturité" T en échange d'une "prime" dépendante (C pour les Call ou P pour les Put) de la valeur intrinsèque à la maturité de l'option appelée "flux" ou plus souvent "pay off terminal" (et par certains "cible stochastique").

D2. Nous parlons de "cours spot" ou plus simplement "spot" pour désigner le cours en vigueur de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction immédiate de l'option (Call ou Put). Si le sous-jacent consiste en un taux de change de devises, nous parlons alors de "cours du cross" ou plus simplement "cross".

D3. Nous parlons de "cours forward" ou plus simplement "forward" pour désigner le cours qui sera en vigueur de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction à maturité de l'option (Call ou Put). Nous retombons alors sur la définition d'un contrat à terme tel que vu plus haut.

D3. Si la valeur intrinsèque d'une option est postive par rapport au spot, elle est dite "dans la monnaie". Dans le cas de l'achat d'un Call, cela signifie que le prix d'exercice est inférieur au cours spot. Il est donc possible dès lors d'acher moins cher que le cours du moment à la date d'exécution de l'option (qui est une date comprise entre la date d'émission et de maturité de l'option pour rappel).

D4. Si la valeur intrinsèque d'une option n'est pas avantageuse par rapport au spot, elle est dite "en dehors de la monnaie". Dans ce cas, le prix d'exercice est supérieur au cours du spot pour un Call par exemple. Il ne serait dès lors par judicieux d'exercer ce Call à la date d'échéance car cela reviendrait à acheter plus cher que le cours spot à cette date!

D5. Si la valeur intrinsèque d'une option est égale au cours du spot à maturité, la valeur intrisnèque est nulle et l'option est dite "à la monnaie".

Voici un tableau récapitulatif :

Call
 
Put
Acheteur d'un Call
(long Call)
Vendeur d'un Call
(short Call)
 
Acheteur d'un Put
(long Put)
Vendeur d'un Put
(short Put)
A le droit, mais non l'obligation, d'acheter la valeur sous-jacente au prix fixé d'avance jusqu'à la date d'échéance
A l'obligation de vendre la valeur sous-jacente au prix fixé d'avance si le Call est exercé
 
A le droit, mais non l'obligation, de vendre la valeur sous-jacente au prix fixé d'avance jusqu'à la date d'échéance
A l'obligation d'acheter la valeur sous-jacente au prix fixé d'avance si le Put est exercé
Tableau: 1  - Différences entre Put et Call

Il y a donc une différence mathématique d'une énorme importance entre les options et les actions/obligations. Effectivement, ces premières ayant une date d'exercice fixée, leur dynamique de prix peut être statistiquement prédictible et ceci d'autant mieux lorsque nous sommes proche de leur d'achat ou de leur date d'exercice (donc c'est une sorte de parabole que les financiers appellent "smile de volatilité"...). Leur volatitlité est souvent maximale entre deux et ceci n'est pas applicable pour les actions/obligations car on sait jamais au niveau stratégique quand elles seront vendues ou respectivement achetées.

Remarques:

R1. L'utilité de l'existence des options peut être vue comme des actifs financiers permettant de croître la volatilité (écart-type ou "loss/gain deviation") du marché et ainsi son équilibre.

R2. Pour des raisons évidentes, le détenteur ou acheteur d'un contrat d'option est dit être en position longue alors que sa contrepartie, l'emetteur ou vendeur du contrat, est en position courte.

R3. Si l'option peut être exercée à n'importe quel instant précédant l'échéance, nous parlons "d'option américaine", si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, nous parlons "d'option européenne". Une option non exercée est considérée comme "abandonnée" (perdue).

R4. Parallèlement aux options classiques, apparaissent depuis les années 1990, sur les marchés des options dites "options exotiques" caractérisées par le nom du lieu où elles ont été créées et la manière de calculer leur prix d'exercice à l'échéance.

Formalisons un peu plus les choses quand même... mais sans aller trop dans les détails (nous nous les gardons pour l'étude du modèle de Black & Scholes plus loin qui consiste à déterminer le montant de la prime). Considérons pour simplifier que des options portant sur un seul sous-jacent ne versant pas de dividendes.

Nous noterons equation le prix (cours/taux de change) de l'actif sous-jacent de l'option au temps t et de maturité T et ferons abstraction des différents Puts et Calls continentaux (américains et européens).

Imaginons donc un Call, qui donne à son détenteur le droit (mais non l'obligation) d'acheter l'actif sous-jacent à tout moment entre aujourd'hui equation et equation au prix d'exercice K fixé à l'avance. Prenons le cas pratique courant d'une option d'achat (Call) qui protège une entreprise par exemple contre la hausse du taux de change euro/dollar. Acquise aujourd'hui par l'entreprise, elle va lui conférer donc le droit (mais pas l'obligation) d'acheter 1 dollar en échange de K euros (le prix d'exercice ou strike K est une caractéristique fixe du contrat) à la date future T fixée (date de maturité).

Si le taux de change en question vaut equation à la tate t (i.e. 1 dollar = equation euros), cette assurance revient du point de vue de l'entreprise à percevoir un montant (pay off):

equation   (28)

euros à la maturité T et noté traditionnelement. A tout temps, deux cas se produisent dès lors pour notre acheteur du Call :

1. equation : dans ce cas, le Call donne le droit d'acheter au prix K le sous-jacent que nous pourrions acheter moins cher sur le marché. Ce droit n'a donc aucun intérêt si nous ne somme pas à l'échéance, et nous ne l'exerçons donc pas. Cependant, si nous sommes à l'échéance il faut voir... il y a une part de risque quand à l'évolution ultérieure de equation. Dans le cas de notre Call pour le change dollar/euro nous aurons donc plutôt intérêt à faire le change au taux du marché plutôt que d'exercer notre Call puisque sinon nous aurons moins d'euros pour un même dollar. Mais nous perdrons la somme déboursée (la prime) d'achat des Call.

2. equation : le Call permet d'acheter le sous-jacent moins cher que sur le marché. Nous exercerons donc très probablement le droit (le profit étant la différence entre ses deux prix). Dans le cas de notre Call pour le change dollar/euro nous exercerons notre droit au taux plus avantageux garanti par le contrat d'option (1 dollar = K euros) avec un gain noté traditionnellement equation.

Du point de vue de la contrepartie (vendeur du Call), dans le cas (1) elle ne verse rien à l'acheteur, et tout est oublié (le contrat expire; tout lien contractuel entre les deux parties disparaît). Dans le cas (2), le vendeur est assigné, il doit vendre à sa contrepartie l'action aux prix K. S'il ne détient pas cette action, il doit d'abord l'acheter sur le marché plus cher (au prix equation). Dans les deux cas le contrepartie a encaissée par contre la prime par unité de Call.

Ainsi, dans le premier cas, l'acheteur et le vendeur ne reçoivent ni ne doivent rien. Dans le deuxième cas, tout se passe comme si l'acheteur de Call achetait l'action sur le marché et recevait au même moment la somme equation (pour le vendeur c'est bien évidemment l'inverse). Donc avec ces produits dérivés c'est le vendeur du Call (ou du Put) qui endosse presque tout le risque du marché et évidemment l'intérêt est grand de neutraliser ce risque en utilisant un formalisme mathématique (le modèle de Black & Scholes).

Voyons un exemple maintenant du point de vue de l'investissement (la prise de risque est flagrante dans cet exemple) :

exempleExemple:

Imaginons le cas d'une action valant actuellement 1000.- (peu importe la devise) et qu'elle soit supposée augmenter de 12% en une année.

Imaginons aussi qu'un investisseur à l'alternative d'acheter l'action à 1000.- ou d'acheter l'option Call à un prix d'exercice de 1000.- (donc supposé égal au prix de l'action, ce qui n'est pas nécessairement toujours le cas) pour une prime de 40.- (nous verrons plus tard comment calculer les primes). Evidemment, l'investisseur peut alors pour 1000.- acheter 25 options Call plutôt qu'une seule action.

La question est de trouver l'investissement le plus intéressant : Ainsi, une augmentation de 120.- dans le cas de l'achat d'une action représente un retour sur investissement de 12% par année, alors que l'achat d'une option Call aura un retour sur investissement de 80.- (120.- de gains sur le prix de vente moins 40.- de la prime payée) soit de 200%.

Il apparaît clairement dans cet exemple que la rentabilité d'achat d'un Call à même investissement est nettement supérieure à l'achat de l'action tant que la prime d'option ne dépasse un certain seuil.

Maintenant abordons de manière détaillée et par l'exemple un autre concept que nous avons déjà implicitement présenté dans les paragraphes précédents et qui nécessite toute notre attention car il en est souvent fait mention par les analystes. Il s'agit de "l'effet de levier" des options.

Lorsque nous évoquons les options, nous ne retenons souvent que le droit d'acheter ou de vendre un bien ou un instrument financier (à un prix fixé d'avance et durant un certain temps), en négligeant l'obligation correspondante du vendeur de l'option. Or, l'effet de levier qui caractérise ces instruments financiers peut rendre cette obligation dévastatrice pour le vendeur.

Pour voir de quoi il s'agit commençons par le risque des Call.

exempleExemple:

L'acheteur d'un Call sur une action (par exemple) limite son risque à la prime de l'option pour un gain potentiel illimité. Le vendeur du Call se trouve dans la position exactement inverse: il encaisse la prime de l'option, mais prend un risque illimité.

Prenons une action X cotée 350.- à la mi-octobre. Un investisseur parie sur la hausse du titre et achète 12.50.- (la "prime") une option Call à échéance janvier de l'année suivant aux prix d'exercice de 380.-. Une présentation graphique permet de mettre aisément en relation l'évolution du titre (en abscisse) et son effet sur l'acheteur ou vendeur du Call.

Considérons le cas de l'acheteur du Call :

Tant que le cours de l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), prix d'exercice, l'acheteur du Call n'aura aucun intérêt à exercer sont option, qui est dite "out of the money". Par contre, si le cours de l'action progresse et dépasse le prix d'exercice, l'option est dite alors "in the money" et il devient intéressant d'exercer l'option. Lorsque le prix d'exercice de l'option est égale au prix du sous-jacent en bourse, nous disons que l'option est "at the money". Dès que le cours de l'action dépasse 392.50, soit l'addition du prix d'exercice et de la prime de l'option à la mi-octobre (380+12.50.-), le détenteur du Call commence à gagner de l'argent sur son investissement initial. Si le cours du titre monte tout à coup à 500.-, soit une augmentation d'un peu plus de 40%, le gain sera beaucoup plus que proportionnel: pour 12.50.- investis, l'acheteur réalisera un bénéfice de 107.50.- soit un gain de 860%: c'est le fameux "effet de levier".

equation
  (29)

Considérons maintenant le cas du vendeur du Call :

Tant que l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), le vendeur du Call fait un bénéfice de 12.50.-, représentant la prime de l'option. A partir de 380.-, le vendeur risque d'être obligé de livrer l'action au prix d'exercice, soit 380.-. A partir de 392.50.-, il commence à perdre de l'argent sur l'opération, puisque l'action qu'il devra sans aucun doute livrer vaudra plus cher que l'addition du prix d'exercice et de la prime encaissée. Si pour son malheur le titre monte effectivement à 500.à et qu'il ne le possède pas, il lui faudra aller le racheter en Bourse pour honorer la demande d'exercice du détenteur du Call, en perdant 107.50.- sur l'opération, soit plus de huit fois la prime encaissée au départ.

equation
  (30)

Mainteant intéressons nous au risque des Put.

exempleExemple:

L'acheteur d'un Put limite son risque au coût de la prime de l'option pour un gain potentiel beaucoup plus important. En face de lui, le vendeur du Put se trouve dans la position exactement inverse : il encaisse la prime de l'option mais prend un risque beaucoup plus grand. Si nous prenons la même action X cotée à 350.- à la mi-octobre, nous nous trouvons cette fois avec un investisseur qui parie sur la baisse du cours de l'action. Il achète donc pour 49.50.- (la "prime") un Put d'échéance décembre au prix d'exercice de 390.-.

Considérons le cas de l'acheteur du Put :

L'acheteur du Put commence à réaliser un profit si le prix de l'action tombe en dessous de 340.50.-, soit le prix d'exercice mois le prix de l'option (390-49.50.-). Entre 340.50.- et 390.- l'exercice n'est pas profitable mais permet de diminuer la perte. Au-dessus du prix at-the-money (390.-) l'exercice du Put n'offre vraiment plus aucun intérêt et nous disons alors que l'option Put est out of the money (O.T.M.).

equation
  (31)

Considérons le cas du vendeur du Put :

Le vendeur du Put encaisse d'abord la prime de l'option soit 49.50. Tant que le cours se maintient au-dessous de 390. il est gagnant. Si le cours de l'option se situe entre 340.50.- et 390.- il perd un peu de sa prime mais reste gagnant. En-dessous de 340.50 le vendeur du Put sera obligé au moment de l'échéance de verser 390.- à l'acheteur du Put (en vendant le sous-jacent et en versant la différence d'une manière ou d'une autre). Bien évidemment si le prix du sous-jacent tombe à zéro, le vendeur du Put peut ainsi perdre jusqu'à 340.50.- de fonds propres.

equation
  (32)

FONDS DE PLACEMENTS

Définition: Un "fond de placement" est un véhicule d'investissement (portefeuille de titres, d'actions ou d'obligations par exemple) que les établissements financiers proposent à leurs clients.

Remarque: Un "hedge fund" ou "fond couvert" est un ensemble de produits financiers utilisées comme couverture contre les fluctuations du marché. En théorie, si la Bourse chute, le hedge fund ne descend pas et a une performance absolue Ces types de fonds alternatifs sont cependant réservés à une clientièle fortunée et avertie.

Bien qu'un fond de placement réunisse divers actifs financiers, les clients peuvent acheter les parts émises à une faible valeur par rapport à l'achat d'actifs individuels. Chaque part contient théoriquement une proportion de chacun des actifs se trouvant dans le fonds de placement. Elles garantissent un droit de participation à la fortune globale du fonds sans toutefois donner de droit sur les sociétés inclues dans le fonds.

Un fond de placement peut investir les montants de diverses manières dont les plus communément pratiquées sont les papiers-valeurs (actions, obligations), papiers monétaires, valeurs immobilières, régions (pays, continents), secteurs d'activité ou encore selon des objectifs personnels. Il existe en ce début de 21ème siècle à peu près 30'000 fonds de placements à travers le monde.

Les fonds de placement rendent souvent service aux petits portefeuilles : avec des montants relativements modestes, il est possible de bénéficier d'une bonne répartition des risques et aussi à des prix de gros accordés sur les transactions effectuées par les gestionnaires de fonds.


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