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THÉORIE DE L'OFFRE ET DE LA DEMANDE

C'est le deuxième des cinq modèles cités plus haut. Il nécessitera nécessairement (et cela est prévu!) une révision car fortement incomplet. Les idées présentées ci-dessous sont à ce jour à prender avec des pincettes.

Dans notre société humaine où il existe une monnaie d'échange (de référence) et des biens persiste un problème qui consiste en la détermination de la valeur monétaire d'un bien. Pour déterminer celle-ci il faut pouvoir connaître l'évolution de l'offre et de la demande. C'est ce dont à quoi nous allons nous attarder ici en commencant par des modèles simplistes et en complexifiant ceux-ci de manière croissante :

THÉORIE DE LA PRÉFÉRENCE

Avant de se lancer dans un modèle élaboré de l'offre et de la demande, il est nécessaire de cerner ce qui motive les agents économiques dans leurs choix de consommation et de modéliser leur comportement sous le principe fondamental de rationalité.

L'agent économique sera perçu comme un individu unique disposant d'un dont il cherche à tirer le maximum de satisfaction. Ses goûts sont subjectifs même s'ils dépendent de certaines caractéristiques objectives telles que l'âge ou le niveau de culture. Le niveau de satisfaction sera défini à partir d'une fonction d'utilité dont nous verrons les principes de base et la maximisation sous contrainte.

Plusieurs principes fondent l'utilité des biens et conduisent à la notion "d'utilité marginale, concept central dans la théorie de la préférence de l'agent économique. D'après Aristote, à l'origine du concept de valeur-utilité, l'utilité des biens dérive de la satisfaction des besoins. Condillac énonce que : "la valeur des choses est fondée sur l'usge que nous pouvons en faire". Cette idée d'une valeur fondée sur l'utilité, fondamentale chez les économistes marginalistes, s'oppose au courant théorique de la valeur-travail fondée sur la quantité de travail, directe et indirecte, incorporée dans la fabrication du bien (Adam Smith, Karl Marx).

Il faut cependant considérer un hypothèse important dans ce modèle de préférence :

Hypothèse : Il existe une certaine satiété des besoins, mais elle n'est jamais totale.

Ainsi, pour un bien donné l'utilité marginale de la dernière unité consommé est donc plus faible que celle des unités précédentes mais non nulle et toujours positive c'est le "principe de l'utilité marginale décroissante". relative à l'unité supplémentaire consommée.

Ainsi, dans le cadre de la consommation multiple d'un bien unique d'utilité nominale donnée, l'utilité totale (somme des utilités marginales ) serait une courbe du type :

  (54)

et donc l'utilité marginale est du type :

  (55)

Ainsi, confronté à un prix donné pour chaque bien, l'agent économique compare ce prix avec les utilités marginales qu'il retire successivement de leur consommation. Il en achète tant que leur utilité dépasse le prix (surplus lié à cet achat) et cesse d'en acheter dès que l'utilité marginale tombe en dessous du prix du bien. Son intérêt est alors d'acheter d'autres produits pour lesquels il existe un surplus positif (utilité marginale de ces produits supérieure à leur prix).

Cet exemple, relatif à un bien, doit être élargi maintenant à un panier de biens pour déterminer l'utilité globale de ce panier.

Considérons pour cela un agent i dans une économie disposant de biens. Il peut donc en acheter au maximum I. Un panier de consommation possible correspond donc au vecteur de biens : , où les représentent les quantités éventuellement nulles achetées par le consommateur. L'utilité de ce panier s'écrit et sera supposée additive selon :

  (56)

c'est-à-dire la somme des utilités totales relatives aux quantités consommées de chaque bien.

Considérons maintenant un panier à deux biens, nous pouvons sans trop d'erreur émettre l'hypothèse que ces biens peuvent êtres divisés en fractions aussi petites que nous voulons d'autres biens/composants. Ainsi, grossièrement, nous ne travaillons plus dans mais dans .

Ainsi, soit un panier de d'un agent économique, nous supposerons que celui-ci est tel que sa différentielle totale exacte est nulle tel que :

  (57)

Le rapport :

  (58)

et défini comme le "taux marginal de substitution" (T.M.S.) entre les deux biens élémentaires i, j : quantité supplémentaire du bien i qu'il faut fournir à l'agent économique pour compenser exactement une diminution d'une unité du bien j.

Le comportement attribué à l'agent économique est de pouvoir classer tous ces paniers de biens de biens possibles (vecteurs) selon une échelle de préférence, sans que celle-ci corresponde à une nécessairement à une évaluation chiffrée. Cette capacité de classement correspond au concept "d'utilité ordinale" (pouvant être ordonnée donc) et à l'utilisation d'une relation de préférence, notée (préféré ou indifférent à) qui vérifie les propriétés suivantes :

- transitivité : et (cohérence des classements successifs)

- réflexivité :

Cette relation, "préordre" au sens mathématique, est utilisée dans la plupart des présentations actuelles de la théorie de la préférence. Ce préordre est complet s'il permet toujours de comparer deux paniers de biens dans l'ensemble des I biens.

Un tel préordre complet permet de définir une relation d'équivalence sur l'ensemble des biens et un ordre strict, ainsi que de représenter les préférences à partir de fonctions d'utilité :

  (59)

où nous avons dans l'ordre : (1) préféré ou indifféranciable à (2) est strictement préféré à (3) est indifférent à .

Si la fonction U est bien définie par un nombre, elle ne reflète plus une évaluation de l'utilité, mais dès lors seulement la possibilité de comparer l'ordre des utilités, relatives à des paniers de biens quelconques.

La possibilité de hiérarchiser différents paniers de bien de permet de définir des surfaces de niveau dont l'utilité est constante, appelées "courbes d'indifférence" ou encore "courbes d'iso-utilité". Les graphiques suivants donnent bien une représentation de ces courbes dans (panier de deux biens) et leurs principales propriétés :

Ainsi, deux paniers tel que dans se traduisent graphiquement par un réseau de courbes, dont chacun est constamment décroissante :

  (60)

Pourquoi n'avons-nous pas des droites ou autres choses ? La raison est simple et le graphique suivant l'explique trivialement. Soit l'iso-utilité :

  (61)

Ci-dessus, domine . En effet le panier de bien possède plus de bien que le panier . Ces deux points ne peuvent donc être sur la même courbe d'indifférence et imposent qu'une courbe d'indifférence doit être décroissante et que c'est la seule condition (donc ce n'est pas nécessairement une droite).

Les courbes d'iso-utilité ne peuvent se couper. Effectivement, soit la figure ci-dessous :

  (62)

Considérons que ont des utilités respectives Il n'est pas possible dès lors que deux le panier qui domine l'utilité de tel que soient tel qu'au point nous ayons et car cela impliquerait ce qui est contradictoire.

Nous sommes donc conscients qu'il existe des relations particulières entre les biens qui vont modifier nos attitudes de consommation. C'est le cas notamment des biens complémentaires et des biens de substitutions :

Définitions:

D1. Deux biens sont dits "biens complémentaires" si la possession de l'un et de l'autre procure une satisfaction supérieure à la somme des satisfactions des deux biens s'ils étaient pris isolément (super-additivité). Ainsi, il y a complémentarité entre des skis et un forfait sur des remontées mécaniques, entre une voiture et de l'essence. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante :

  (63)

Effectivement, le couple (voiture, essence) ont respectivement un minima sous lequel nous ne pouvons pas descendre afin que le coupe ait son intérêt de consommation (il ne vaut pas la pein d'acheter une voiture si l'essence tend vers zéro).

D2. Deux biens sont substituables si nous pouvons remplacer facilement l'un par l'autre, par exemple en cas de pénurie ou de hausses de prix. Le thé et le café sont substituts car, à défaut de l'un, nous nous reportons souvent sur l'autre. Cela est encore plus vrai pour deux marques d'une même boisson (Pepsi et Coca). La crise de la vache folle est également un bon révélateur de la substituabilité des produits carnés, avec un report de consommation sur les volailles et l'agneau. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante :

  (64)

Effectivement, l'intersection avec les axes respectifs indique (exprime). justement la substitution totale possible d'un bien par l'autre dans le panier

Voyons maintenant un exemple d'application :

Soit à calculer le T.M.S. le long de la courbe d'indifférence (il s'agit donc d'une fonction hyperbolique). Nous avons montré que que le T.M.S était donné par :

  (65)

Ainsi, pour les trois points A, B, C de coordonnées respectives:

  (66)

nous trouvons les valeurs T.M.S. respectives :

  (67)

Ces valeurs expriment des équivalences entre les biens 2 et 1 pour des variations marginales des quantités de ces biens. Ainsi au point A, pour conserver le niveau d'utilité de 100, le consommateur est prêt à abandonner du bien 2 pour augmenter sa consommation de bien 1 dans un rapport de 4 à 1. Au point B l'équivalence entre les deux biens est dans un rapport de 1 à1,etc.

Pour résumer :

Les courbes d'indifférences (iso-utilité) ont donc traditionnellement les propriétés suivantes:

P1. les courbes d'indifférences ne se croisent pas. C'est la conséquence de l'hypothèse que les consommateurs préfèrent toujours avoir plus d'un bien que moins.

P2. Les courbes sont décroissantes. Cela découle de la l'hypothèse que plus les individus consomment de moins en moins d'un produit, plus ils en demanderont un autre.

Finalement les hypothèses sont (les trois premières hypothèses sont obligatoires, les autres sont facultatives puisque découlant des deux propriétés précédentes) :

H1. Complétude : les consommateurs connaissent leurs préférences individuelles. En d'autres termes, ils peuvent choisir entre consommer le couple X ou le couple Y. Ils savent si X est préféré à Y, Y est préféré à X, ou s'ils sont indifférents entre consommer X ou Y.

H2 . Transitivité : si un consommateur préfère le couple X au couple Y, et préfère le couple Y au couple Z, alors il préfèrera le couple X au couple Z.

H3. Continuité : cela signifie que nous pouvons choisir de consommer n'importe quelle quantité d'un bien.

H4. Non satiété : c'est l'idée que plus d'un bien est toujours préféré à moins.

H5. Convexité : la valeur marginale qu'un individu retire de chaque bien tombe . Dans un monde à deux biens, si un consommateur a relativement plus d'un bien il sera plus heureux avec un peu moins de ce bien et avec un peu plus de l'autre bien.

MODÈLE CONTRARIÉ A PERTE NETTE

Considérons maintenant, et ce indépendamment de la théorie de la préférence, un modèle à monopole contrarié et à information parfaite pour un besoin primaire. Notons D(t) la demande sur le marché et O(t) l'offre. Nous avons alors un demande exponentielle (en absence d'offre) :

  (68)

et en l'absence de demande :

  (69)

Les offreurs et les demandeurs sont en interaction. Pour quantifier la contribution entre groupes, nous considérons l'offre en assumant que sa valeur ou intensité est fonction de probabilité de rencontre entre le demandeur et le produit et quelle sera proportionnelle au produit du pourcentage de l'offre de la demande.

Les effets de la découverte du produit n'ont pas les mêmes effets sur les deux groupes offreurs/demandeurs. Premièrement, bien sûr, chaque offre acquise par un demandeur est un gain net pour le premier et sera supposé comme un perte d'épargne nette pour le second. Ainsi, si l'effet des interactions est accepté, comme étant proportionnel à les signes d'influence d'interaction différeront selon :

  (70)

Avant d'aller plus loin, cherchons les valeurs pour lesquelles les dérivées s'annulent (ce qui nous donnera au fait le point d'équilibre entre l'offre et la demande) :

  (71)

d'où :

  (72)

Une solution triviale est la solution "d'inexistence" donné par . Sinon, nous avons :

  (73)

Maintenant, normalisons les équations en écrivant (ainsi elles sont sans dimension) :

  (74)

avec cette normalisation, le modèle s'écrit :

  (75)

En réarrangent les coefficients, le système s'écrit :

  (76)

pour lequel les dérivées s'annulent aux points (1,1), qui sera à nouveau l'équilibre de Say.

Le tracé discret de ce système d'équations (dans lequel nous reconnaissons un terme logistique), donne avec et le conditions initiales :

  (77)

Nous retrouvons comme le marché semble nous le montrer, des cycle d'offre/demande (certains produits démodés reviennent à la mode) dont il faut déterminer par des statistiques, les conditions initiales afin d'en connaître la possible période. Nous remarquons que l'offre a toujours un peu de retard sur la demande dans ce modèle.

Si nous représentons l'offre et la demande non pas respectivement en fonction du temps mais en fonction de l'un et de l'autre nous obtenons :

  (78)

Nous voyons ainsi (dans cette représentation de l'espace des physique) que pour des conditions initiales fixes, le système est périodique et a un point d'équilibre en

Ce qui correspond aux points où :

  (79)

Finalement, nous avons deux couples de points d'équilibre (c'est trivial en regardant le système d'équation) :

et   (80)

La question qui se poser est le sens de rotation (représentation) du plan des phases. Ainsi, en représentant les directions à l'aide d'un champ de vecteurs, nous obtenons la représentation :

  (81)

Pour savoir dans quelle direction nous nous dirigeons dans l'espace des phases à un moment donné, il suffit donc de connaître la dérivée dy/dx (ou réciproquement dx/dy). Ainsi nous avons :

  (82)

Ceci dit, nous voyons bien sur le diagramme des phases dans sa forme de champ de vecteurs qu'il arrive un moment dans le cycle de ce modèle que l'offre soit très élevée pour une faible demande. Donc le modèle mathématique (théorique) explique bien ce qui peut être à priori contre intuitif pour l'être humain.

Cependant, nous pouvons (devons) nous poser la question de ce qu'il se passe après un petite perturbation autour des points d'équilibres (ce qui est de la plus haute importance en économie).

Nous avons donc le système :

  (83)

En y mettant une perturbation infiniment petite, celui-ci s'écrit :

  (84)

En négligeant les termes quadratiques nous obtenons :

  (85)

Dès lors, proche du point d'extinction , ce système s'écrit :

  (86)

Ce qui nous montre que proche du point d'éqilibre, l'offre diminue exponentiellement alors que la demande augmente elle exponentiellement. Ceci à un sens écnomique : quand il y a peu d'offre (respectivement de demande), la demande croît alors qu'au fur et à mesure que la demande augmente, l'offre croît et se concentre de plus en plus sur leurs la demande (ahhh la nature...).

Proche du point d'équilibre (1,1), nous aurons :

  (87)

Ce cas n'est plus très trivial car nous avons alors des équations différentielles couplées. Pour résoudre ce système, différentions l'équation :

  (88)

et en y injectant dy/dt :

  (89)

Nous obtenons donc une petit équation différentielle du deuxième ordre (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Dons la solution type est :

  (90)

En injectant cette solution dans l'équation différentielle, nous obtenons après simplification des exponentielles une simple équation du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

  (91)

Dont la solution est triviale :

  (92)

Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est la combinaisons linéaire des deux solutions tel que :

  (93)

Mais nous avons donc :

  (94)

Dès lors, connaissant x(t) nous obtenons facilement :

  (95)

Utilisons maintenant la relation d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres) :

  (96)

Ainsi, nous avons :

  (97)

et comme (cf. chapitre de Trigonométrie) , nous avons alors :

  (98)

et de manière similaires, nous obtenons pour les prédateurs :

  (99)

Ainsi, autour du point d'équilibre (1,1), les perturbations suffisamment petites pour valider la linéarisation (annulation des termes quadratiques) oscilles comme des ellipses (ou cercles) dont les axes sont définis par les deux équations précédentes.

Ce modèle est cependant imparfait car il prend en compte seulement un monopole contrarié à perte nette et à information parfaite. Le fait de considérer la population constante n'est pas trop génante mais en toute rigueur nous devrions rajouter un terme logistique dans les équations initiales. Il y a encore du travail donc...

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