Retours et taux d'investissements



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Pour définir l'objectif poursuivi par le possesseur d'actifs financiers, nous nous référerons à la motivation économique de tout acte d'investir. Celle-ci consiste concrètement à consentir présentement à une dépense, en vue d'un accroissement de patrimoine espéré dans le futur. 

De deux ou plusieurs stratégies d'investissements, la meilleure au niveau individuel est celle qui maximise la capital final de l'investisseur.

Il existe alors différents types de retour sur investissements suivant l'objet d'étude. Ainsi, nous différencions en finance (avant d'en voir les détails) :

1. Les retours d'actifs financiers sur une horizon économique (return on investment) et leur taux de rendement respectifs (rate of return).

2. Les retours sur des investissements en comparaison à un taux géométrique moyen du marché (goodwill) et la limite du taux de rentabilité correspondante (internal rate of return).

Ensuite, il faut considérer d'autres approches de taux de rentabilité outre le deux mentionnés ci-dessus les deux autres grands classique sont (avant d'en voir les détails):

1. Le taux de retour pondéré par les capitaux investis (M.W.R.R.) qui a l'avantage par rapport au taux de rendement interne du Goodwill de prendre en compte les investissements faits en dehors des périodes temporelles classiques.

2. Le taux de retour pondéré dans le temps (T.W.R.R.) qui est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables.

Voyons donc un peu tout cela :

return on investment

En pratique, nous définirons l'objectif de l'investisseur comme consistant à maximiser l'accroissement de sa fortune initiale, quelles que soient les modalités de cet accroissement. Cet accroissement appelé donc en anglais "return on investment" (R.O.I.) ou, plus brièvement, "return" est défini par la relation (logique) dans le cadre de la gestion d'actifs par :

equation   (33)

equation est donc le return de l'actif financier pour la période (se terminant au temps) t, equation le prix du marché au temps t de l'actif financier et equation le revenu liquide attaché à la détention de l'actif financier durant la période (se terminant au temps) t.

Le revenu equation est supposé perçu au temps t, ou, s'il est perçu entre equation et t, il est supposé ne pas être ré-investi avant le temps t. Le prix de marché au temps equation est une valeur "ex-coupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon donnant à) la perception, au temps equation, du revenu liquide afférant à la période equation. Sur le plan empirique, l'hypothèse de non réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop importantes dans le traitement des données chronologiques.

Pour faciliter les comparaisons entres investissements, nous utilisons une mesure exprimée en termes relatifs le "taux de rentabilité" ou "rate of return" défini assez logiquement par :

equation   (34)

equation est le taux de rentabilité pour la période t.

Nous reviendrons lors de notre étude du modèle mathématique d'évaluation des actifs financiers sur ces outils.

INTERNal rate of return

La mise en oeuvre d'un capital financier pour permettre la réalisation d'opérations d'économie réelle (c'est-à-dire le fait de consacrer, directement ou indirectement, ce capital financier à l'acquisition ou à la constitution de moyens de production, au sens le plus large de ce terme) peut donc produire à travers le temps des retours d'argent sous la forme de flux nets liquidités appelés "flux net de trésorerie" (F.N.T.) ou encore "cash flows" (C.F.) (cela fait toujours mieux en anglais....).

Le calcul actuariel permet de construire formellement un critère de décision. En effet, nous définissons (logiquement mais sans toutefois étant complétement réaliste) la prise de risque par le "Goodwill" comme étant donné par la relation :

equation   (35)

Explications :

Le deuxième terme à droite de l'égalité nous est déjà connu (nous l'avons vu lors de notre étude du calcul actuariel) mais sous la forme :

equation   (36)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (...) il nous donne donc l'investissement initial à effectuer à un pourcentage donné constant (...) pour avoir un retour sur investissement (cash flow) equation à un taux d'intérêt périodique moyen géométrique t% (taux du marché) avec T étant l'horizon de l'opération (nombre de périodes), equation étant la dépense initiale d'investissement

En d'autres termes, le Goodwill de l'opération représente les flux excédentaires actuels obtenus après avoir remboursé la somme intiale investie au cours de sur sa durée d'utilisation et après avoir rémunéré le capital encore investi au début de chaque période au taux d'actualisation.

Si :

equation   (37)

A la formulation du critère de décision telle qu'elle vient d'être présentée, nombreux sont ceux, notamment les praticiens, qui préfèrent la méthode dite du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou "internal rate of return" (I.R.R.). Celle-ci n'est en apparence qu'une variante de la première formulation. Elle consiste à calculer un taux généralement symbolisé par la lettre grecque equation, qui annule la valeur du Goodwill (il s'agit donc de déterminer le taux de rentabilité tel que la somme des flux nets de trésorerie soit égale au montant du capital investi) :

equation   (38)

Si :

equation   (39)

Nous voyons que le taux interne de rentabilité intervient dans le processus de décision de manière à première vue équivalente à celle dont il est utilisé dans le calcul d'une valeur actuelle nette. En outre, l'expression du résultat du calcul est indéniablement plus parlante que le montant absolu (Goodwill) obtenu dans la première formulation. Nous inclinerions donc à adopter la seconde formulation si celle-ci ne présentait, à l'examen approfondi, l'inconvénient majeur que le calcul du taux interne de rentabilité comporte dans certains cas plusieurs solutions. La relation est en effet une équation polynômiale dont nous avons démontré, dans le chapitre d'Algèbre, qu'elle a autant de racines que le polynôme présente de changements de signe.

MONEY WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant introduire un type de taux interne de rentabilité différent de celui du lié au Goodwill et qui s'applique mieux à la gestion de portefeuilles que le taux interne de rentabilité vu plus haut (qui rappelons-le se base sur l'hypothèses que les cash-flow sont déboursés à intervalles périodiques).

Considérons un fond F et les informations suivantes :

1. La  valeur du fond equation juste avant le temps 0

2. La valeur du fond equation juste après le temps 1

3. Une valeur monétaire totale nette equation investie durant la période [0,1]  payée (pour simplifier l'exemple) en deux moitiés en début et fin de période

Les données qui vont nous intéresser sont les suivantes :

1. La valeur equation qui représente la valeur totale du fond et d'une partie de l'investissement au moment 0.

2. La valeur equation  qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver en fin de période à la valeur N/2 lorsque le taux du marché est à un taux t%.

3. La valeur equation qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver en fin de période à equation lorsque le taux du marché vaut aussi t%.

La différence :

equation   (40)

donne le valeur qu'il aurait fallu capitaliser pour obtenir la somme equation en d'autres termes la valeur finale du fond en fin de période investissement initial compris.

Ce qui est trivialement intéressant pour un investisseur est alors de connaître le taux equation tel que :

equation   (41)

soit :

equation   (42)

relation qui est appelée "relation de Hardy".

Si cette relation se vérifie pour un equation connus et déterminés et equation supposé un investisseur n'aura rien à gagner ni à perdre à investir dans le fond ou de capitaliser au taux du marché equation.

Si l'équation de Hardy n'est pas non nulle mais positive alors l'investissement dans le fond n'est pas intéressant. Si elle est négative il vaut alors mieux investir dans le fond.

De l'algèbre élémentaire nous amène à la relation :

equation   (43)

avec equation.

Effectivement :

equation   (44)

Le taux equation est souvent nommé en gestion de fortune le "Money Weighted Rate of Return " (M.W.R.R.). ou "Taux de Retour Pondéré par les Capitaux Investis" (T.R.P.C.I.).

exempleExemple:

Un fond a eu les revenus suivants pendant l'année 2006 :

- Valeur au 1er Janvier 2006 : 30 MFr.-

- Investissement sur le fond pendant l'année : 18 MFr.-

- Retraits sur le fond : 30 MFr.-

- Valeur du fond au 31 décembre 2006 : 21 MFr.-

Quel est le taux effectif (M.W.R.R.) de ce fond en 2006 ?

Nous avons alors comme données initiales equation ce qui donne si nous assumons les hypothèses de départ concernant N :

equation   (45)

et alors :

equation   (46)

Considérons maintenant que nous savons que les investissements ont eu lieu le 16 Mai (3/8ème de l'année) et les retraits 1 Octobre (9ème mois).

Le M.W.R.R. est alors le taux du cash flow :

equation   (47)

Nous devons alors trouver t% tel que :

equation   (48)

La résolution de cette équation avec Maple donne equation

Nous voyons qu'en considérant les cash-flows et le moment où ils ont lieu (donc une analyse plus fine et rigoureuse) nous réduisons le M.W.R.R. Par ailleurs, le dernier calcul étant plus rigoureux que le premier c'est celui que l'investisseur voudra connaître en fin d'année.

Ce taux est donc une mesure effective du taux d'accroissement du fond, donnant l'impact du poids des cash-flows sur la valeur du fond. Il s'agit aussi au fait d'une simple généralisation du IRR (Internal Rate of Return).

TIME WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant nous intéresser à un autre outil financier de la gestion de portefeuilles utilisé également pour juger du rendement d'un investissement.

Considérons un fond tel que :

 

Décembre 31. 2000

T1
2001

T2
2001

T3
2001

T4
2001

Valeur de début du fond

 

1000

370

81

7.8

Gain ou (perte) pour le trimestre %

 

10%

3%

(4%)

6%

Gain ou (perte) pour le trimestre .-

 

100

11

(3.2)

0.5

Cash flows trimestriels entrées/(sorties)

 

(730)

(300)

(70)

0

Valeur du fond

1000

370

81

7.8

8.3

Tableau: 2  - Time Weighted Rate Of Return

Le 31 décembre 2000, le fond à une valeur de 1000.-. Durant le premier trimestre 2001 il a un retour de 10% mais nous imaginons que cette valeur est loin de ce qui était attendu alors l'investisseur retire 730.- du fond (portefeuille basé sur le fond). Lors du second trimestre, le fond a gagné 3% et 300.- supplémentaires ont été retirés par l'investisseur. Lors du troisième trimestre le fond a perdu 4% et 70.- on été retirés. Le dernier trimestre, le fond a gagné 6% et aucun fond n'a été retiré.

Nous avons alors l'accroissement (retour) global sur l'ensemble de la période (année) qui est donné par :

equation   (49)

Nous voyons bien que cette valeur est indépendante des flux monétaires du portefeuille de l'investisseur. Nous appelons la valeur de 15.3% le "Time Weighted Rate of Return" (T.W.R.R) ou "Taux de Retour Pondéré dans le Temps" (T.R.P.T.).

Ce cas particulier peut être noté de manière générale par la relation :

equation   (50)

Il convient de se rappeler que si nous avions voulu calculer calculer la moyenne du rendement du fond par trimestre nous aurions simplement utilisé la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques)!

Le T.W.R.R. est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables. Ainsi, nous avons une mesure de la qualité de la dynamique des fonds indépendante du choix des investisseurs qui pourraint considérer les retraits ou investissements comme des cash flow qui serviraient à calculer un I.R.R. qui n'aurait plus ou moins aucune signification par rapport à la dynamique du fond


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