MODÈLE spéculatif DE BACHELIER



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Après ces nombreuses définitions contextuelles, le but maintenant est d'introduire les techniques mathématiques spéculatives stochastiques de base utilisées en finance. En effet, la finance étant devenue au fil du temps un domaine de plus en plus concurrentiel, les marges sur les produits standards ont tendances à se réduire, la prime est donc donnée à l'innovation. Cette évolution a conduit à une sophistication croissante des produits financiers, faisant ainsi appel à des notions mathématiques poussées, basées principalement sur des modèles de probabilités, introduits par Louis Bachelier dans sa "Théorie de la spéculation" mais réellement utilisés que depuis 1973 grâce aux différents travaux de Black & Scholes, et Merton (qui leur ont valu à leurs auteurs le dernier Prix Nobel d'économie).

Regardons pour commencer quels sont les développements proposés par Louis Bachelier dans sa thèse pour déterminer l'espérance mathématique prévisionnelle et l'écart-type prévisionnel d'un actif financier (résultat que nous utiliserons dans le cadre de l'étude du modèle d'évaluation de Black & Scholes).

Désignons par equation la fonction de densité de probabilité que le cours d'un actif soit x à un temps t. Dès lors, la probabilité cumulée que la valeur du cours se trouve compris dans l'intervalle élémentaire [x, x + dx] au temps t est de la forme:

equation   (51)

(dont l'intégrale sur l'ensemble du domaine de définition devra donner 1).

En vertu du quatrième axiome des probabilités (voir chapitre du même nom), la probabilité que le cours évolue d'une certaine valeur à une autre (chaîne de Markov temporelle à temps continu), sera égale au produit de la probabilité cumulée pour le cours soit coté x dans un intervalle donné à l'époque equation, c'est-à-dire:

equation   (52)

multipliée par la probabilité cumulée pour que, le cours étant coté x à l'époque equation, le cours soit coté z dans un intervalle donné à l'époque equation, c'est-à-dire, multipliée par :

equation   (53)

La probabilité cherchée est donc :

equation   (54)

Cette écriture suppose donc que les cours sont des variables aléatoires indépendantes...

Le cours pouvant se trouver à l'époque equation dans tous les intervalles dx compris entre equation , la probabilité cumulée pour que le cours soit coté z à l'époque equation sera :

equation   (55)

La probabilité de ce cours z, à l'époque equation a aussi pour expression :

equation   (56)

Nous avons donc :

equation   (57)

ou :

equation   (58)

telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la fonction de distribution de probabilité p que nous recherchons. Cette équation est vérifiée, comme nous allons le voir, par la fonction :

equation   (59)

Mais il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'une solution particulière (raison pour laquelle ce modèle est parfois appelé "modèle gaussien de Bachelier")... et de plus rien ne dit que les deux variables aléatoires indépendantes suivent toutes la même loi de probabilité...

Les deux hypothèses de construction du modèle vues jusqu'à maintenant (indépendance et distribution identique) sont souvent indiquées en finance sous l'appelation des "hypothèses d'indépendance et de stationnarité".

Ceci étant dit, nous devons alors bien évidemment imposer (axiomes des probabilités obligent!):

equation   (60)

L'intégrale classique qui figure dans le deuxième terme a pour valeur (cf. chapitre de Statistiques):

equation   (61)

nous devons donc obligatoirement avoir pour la normalisation :

equation   (62)

Il en découle :

equation   (63)

En posant equation, nous obtenons equation c'est-à-dire que A égale la probabilité du cours coté actuellement. Il faut donc établir que la fonction :

equation   (64)

equation dépend du temps, satisfait bien à l'équation de condition ci-dessus.

Soient equation les quantités correspondant à equation et relatives aux temps equation, il faut donc prouver que l'expression :

equation   (65)

peut se mettre sous la forme equationA,B ne dépendant que du temps! Cette intégrale devient en remarquant z que n'est pas une variable d'intégration (nous supposons qu'il est indépendant de x comme vous l'aurez compris depuis le début)

equation   (66)

Nous allons maintenant changer la forme de l'intégrale (nous changeons aussi de notation pour l'exponentielle sinon cela devient illisible) :

equation   (67)

et posons :

equation   (68)

Nous aurons alors :

equation   (69)

L'intégrale :

equation   (70)

ayant pour valeur 1 (cf. chapitre de Statistiques), nous obtenons finalement :

equation   (71)

Cette expression ayant la forme désirée puisque:

equation   (72)

nous devons en conclure que la probabilité que le titre soit coté z au temps equation s'exprime bien par la relation :

equation   (73)

Nous voyons que la probabilité est régie par un loi de distribution de type loi Normale centrée réduite! Ceci constitue un résultat remarquable obtenu par Louis Bachelier en 1900 et qui avait été déjà spéculé par Jules Regnault au milieu du 19ème siècle.

Effectivement, Regnault compare la spéculation à un jeu de pile ou face dans lequel les deux côtés de la pièce correspondent aux deux possibilités, hausse ou baisse du cours. Sous l'hypothèse qu'à quelque moment que ce soit, il n'y jamais plus d'avantages pour une chance que pour l'autre. Autrement dit, à chaque cotation, le cours a une chance sur deux d'augementer et une chance sur deux de diminuer. Mais chaque spéculateur a son opinions sur la question. Sans cette diversité d'opinions, il n'y aurait pas conséquent ni échanges ni variations des cours. Les opérateurs se répartissent donc en deux groups (haussiers, baissiers) qui font des évaluations subjectives de la valeur future du cours qui comportent forcément une marge d'erreur. Cependant, pour Regnault, les erreurs des spéculateurs ne sont pas quelconques, elles obéissent à une distribution de Gauss. Effectivement, comme l'a démontré Laplace, si la probabilité d'erreur est petite et qu'elles sont nombreuses et indépendantes alors les résultats des erreurs suivant une loi de Gauss (cf. chapitre de Statistiques).

La relation antéprécédente nous montre que les paramètres equation satisfont à la relation fonctionnelle :

equation   (74)

différentions par rapport à equation, puis par rapport à equation. Le premier membre ayant la même forme dans les deux cas, nous obtenons :

equation   (75)

donc après simplification :

equationequation   (76)

Ce qui donne finalement :

equation   (77)

Cette relation ayant lieu, quels que soient equation, la valeur commune des deux rapports est constante et nous avons donc :

equation   (78)

Une fonction qui satisfait cette relation existe et est :

equation   (79)

H désignant une constante ou une fonction indépendante du temps.

Vérification :

equation   (80)

donc :

equation   (81)

Nous avons donc pour expression finale de la fonction de densité de probabilité de la valeur du cours x:

equation   (82)

avec x (pour rappel) qui est supérieur ou égal à 0.

Le lecteur remarquera donc que pour une valeur de H et t fixées nous avons toujours ici la forme d'une loi Normale centrée (cf. chapitre de Statistique)!! Les financiers disent alors que nous avons affaire à un "hasard sage", sous-entendu que les variations sont faibles et régulières.

esperance et variance positive

Comme le cours ne peut pas être négatif, nous nous restreignons au calcul de l'espérance positive comme étant alors (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (83)

en notant :

equation   (84)

le "coefficient d'instabilité" (sur lequel nous ne savons rien) nous avons ainsi l'espérance positive du cours qui est au final:

equation   (85)

l'espérance mathématique du cours est donc proportionnelle à la racine carrée du temps comme l'est le mouvement brownien que nous avons étudié dans le chapitre de Mécanique Statistique!!

Il découle aussi immédiatement de ce résultat que l'écart moyen de la valeur du cours à deux instants différents consécutifs est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps écoulé entre les deux instants!

Nous remarquons aussi qu'à l'instant où t est égal à 0, l'espérance positive du gain est nulle car la valeur y est connue de manière sûre (c'est ainsi qu'il faut l'interpréter).

Remarque: Le mouvement brownien est massivement employée par les professionnels, puisque les calculs de volatilité annualisée (en %/an) dont on trouve les résultats dans toute page financière de la presse quotidienne, ne sont que des conversions en racine carrée du temps des calculs de volatilité périodique (en %/mois ou %/semaine) utilisée comme base d'estimation.

Calculons maintenant la variance positive aussi:

equation   (86)

Nous posons:

equation   (87)

soit:

equation   (88)

avec:

equation   (89)

Il vient alors:

equation   (90)

Or dans le chapitre de Statistique nous avons démontré par intégration par parties que:

equation  (91)

Soit au final:

equation   (92)

Donc si nous posons:

equation   (93)

Nous avons finalement:

equation   (94)

Donc l'écart-type positif est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps (et le résultat serait le même si nous calculions l'écart-type total)!

Donc par stabilité de la loi Normale (cf. chapitre de Statistiques) nous avons:

equation   (95)

Il s'ensuit immédiatement que:

equation   (96)

et:

equation   (97)

Donc les variations du prix du cours d'un actif financier entre deux instants successifs ont une loi de probabilité bien évidemment aussi décrite par une loi Normale centrée (découlant donc de la stabilité de cette loi) caractérisée elle aussi par une espérance positive et un écart-type positif proportionnels à la racine carrée du temps.

Ce résultat démontré mathématiquement avait été mesuré par Regnault une cinquantaine d'années auparavant (~1850) en observant que l'écart moyen de titres obligataires français était proportionnelle à la racine carrée du temps.

Ceci dit il faut accepter les limites de cette approche. Prenons par exemples les rendements de journaliers de l'indice Dow Jones en 2008 et 2009. D'après les spécialistes possédant les détails de ces données, elles suivraient plutôt une loi de Student de paramètre 3 qu'une loi Normale...!

Pour donner une comparaison flagrante de la limite de ces approches rappelons (cf. chapitre de Statistiques) que la probabilité cumulée qu'une variable aléatoire suivant une loi Normale soit au-delà de 4 écart-types est de 1-99.99366% soit 0.00634%. Cela signifie, si la bourse a 252 jours ouvrés, une certitude d'avoir une grande déviation tous les:

equation   (98)

où nous considérons donc (cf. chapitre de Probabilités) les événements comme disjoints deux à deux.

Or la réalité montre, par exemple, que l'indice Dow Jones a eu entre 2008 et 2009 en moyenne 8 déviations au-delà de 4 écarts-types par année… et ce n'est guère qu'un peux mieux si nous faisons une approche avec la loi de Student.

Deux résultats majeurs sont au final à retenir ici sont sous les hypothèses fortes de normalité centrée et d'indépendance:

1. Que la fonction de distribution de probabilité que le cours d'un actif financier soit x à un instant t donné suit une loi Normale centrée...!!

2. Que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur d'un actif financier sont proportionnels à la racine carrée du temps avec une facteur dont nous ne savons rien!!

3. Que l'espérance de gain est globalement nulle (ce qui rend le modèle peu réaliste mais donne déjà une base de travail).

C'est le premier modèle de base à connaître en finance (qui ne devrait plus être utilisé dans les entreprises en ce début de 21ème siècle mais qui l'est malheureusement encore en majorité...) et nous réutiliserons donc ces démarches lors de notre introduction au modèle de Black & Scholes.

Enfin, il convient de préciser que c'est un modèle théorique! Il faut donc le confronter à la pratique pour voir s'il est valide ou non. En l'occurrence l'observation des marchés financiers montre que ce n'est le cas que hors des bulles spéculatives que les variations peuvent être modélisées par un mouvement brownien. Il faut donc chercher des modèles plus puissants et nous verrons un jour que le mouvement brownien (appelé également "processus brownien") qui est lisse (continu) et donc sans sauts brusques est un cas particulier des processus de Lévy.


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