MODÈLE de diversification efficiente de sharpe



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

L'utilisation du modèle de Markowitz, tel qu'il le proposait dans son ouvrage de 1959, soulevait de nombreux problèmes dès qu'il s'agissait d'utiliser des algorithmes à partir d'une liste de base comportant un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes étaient de deux ordres:

1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque une calculateur de grande capacité et un temps de calcul assez long!

2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout cohérentes.

Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de l'application, il faut de toute évidence trouver le moyens d'alléger notablement la procédure tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode.

En 1963, William Sharpe a proposé une solution dont la caractéristique essentielle consiste à faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent (indice boursier typiquement) qui permet de déterminer un coefficient appelé le "bêta" (corrélation entre le rendement d'un titre et celui du portefeuille de marché).

Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" (ou "modèle unifactoriel", "modèle monofactoriel") a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation des prix des actifs financiers dans un univers incertain.

Remarque: Encore une fois, les développements qui vont suivre pourraient s'avérer abstraits mais... nous verrons comment appliquer l'exemple précédent fait avec MS Excel pour le modèle de Markowitz mais appliqué avec le modèle de Sharpe et nous pourrons ainsi même comparer visuellement les deux méthodes.

Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au seul risque de marché (ou "risque systématique") donné par un nombre appelé "coefficient bêta".

Les investisseurs et gestionnaires distinguent trois sortes de risques:

1. Le "risque spécifique" relatif (implicite) au titre lui-même (sa variance) appelé aussi "risque non systématique" ou "risque idiosyncratique".

2. Le "risque systématique/non diversiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large (variance du portefeuille de référence du marché).

3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux (c'est un peu plus subtil qu'un simple somme...).

Comme vous l'aurez probablement deviné, le facteur risque est difficilement quantifiable. L'élément qui aidera à le déterminer est la variation du rendement de l'actif financier par rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un actif financier dont le cours fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque élevé. 

Définition (simpliste): Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un portefeuille ou d'un actif financier et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente d'une droite appelée "security characteristic line" (S.C.L.) :

equation   (153)

ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé "volatilité relative".

equation
  (154)

Remarque: L'indice de référence est choisi de la manière la plus pertinente possible avec ce que cela implique... Si possible lorsque le rendement de l'indice est nul, la variation de la valeur du portefeuille ou de l'actif devrait aussi être nulle.

Une simple analyse du graphique (c'est de l'analyse fonctionnelle élémentaire) montre donc qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre/actif donné signifie qu'une augmentation (respectivement : diminution) de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine période se traduira par une augmentation (respectivement : diminution) de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Donc la volatilité de l'actif est égale à celle de l'indice.

Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile (ou plutôt, était volatile, puisque ce coefficient se réfère généralement à une période passée) que celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant un bêta de 1.15 est de 15% plus volatil que l'indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de 0.70 est 30% moins volatile que l'indice.

Donc pour résumer :

1. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul !

2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché est à la baisse, le titre sera susceptible de baisser moins que le marché.

3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché est à la hausse, le titre sera susceptible de suivre moins rapidement la tendance à la hausse.

Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a pour objectif donc de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient.

Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêta pondérés respectifs de chacun des titres ou bêta sous-jacents qui le composent tel que:

equation   (155)

avec equation étant le bêta du portefeuille global, Xi la proportion du titre i dans le portefeuille P, equation le bêta du titre i et n le nombre d'actifs financiers présents dans le portefeuille.

Sharpe donc que le rendement Ri de chaque actif i à un instant t est donné par la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) security characteristic line vue plus haut :

equation   (156)

où :

- I est donc le rendement d'un indice économique donné (indice boursier, indice du produit national brut, indice des prix ou voir même rendement le rendement du portefeuille du marché lui-même...) au temps t et est la variable expliquée de la régression (selon la terminologie utilisée dans le chapitre de Méthodes Numériques) considérée comme une variable aléatoire.

- equation sont des estimateurs non biaisés (cf. chapitre de Statistiques) des paramètres propres à cette valeur. Le premier terme appelée en finance "coefficient alpha" est simplement l'ordonnée à l'origine de la régression (le rendement de l'actif lorsque le rendement de l'indice de référence est nul soit lorsque le marché à un rendement nul) et le deuxième paramètre est pour rappel simplement le bêta du portefeuille risqué i.

- equation une variable aléatoire supposée caractérisée par une espérance nulle, une variance égale à une constante et les différents equation sont supposés non corrélés entre eux (covariance nulle).

Quant au niveau de l'indice I, il sera caratérisé par la relation (afin de simplifier les développements plus tard) :

equation   (157)

equation est un paramètre non biaisé supplémentaire pour caractériser l'indice I et equation une variable aléatoire caractérisée par une espérance nulle et une variance égale à une constante

Pour résumer les points principaux, le modèle de régression linéaire simple des rendements des actifs financiers est basé sur les hypothèses majeures suivantes :

H1. Le modèle de rendement s'écrit de manière générale :

equation   (158)

en supposant que nous n'avons pas fait d'erreur sur la forme linéaire du modèle, ni sur la liste des régresseurs.

H2. Nous supposons que la perturbation de la régression est d'espérance nulle telle que (hypothèses sous-jacente d'un effet brownien!):

equation   (159)

ce qui constitue ceci dit une hypothèse simplificatrice dangereuse mais pratique pour être utilisable (et compréhensible) épar les praticiens de la finance...

H3. Pour n'importe quel échantillon de taille n, nous utilisons les estimateurs de maximum de vraisemblance (cf. chapitre de Statistiques) pour l'espérance et variance des rendements des actifs financiers du portefeuille de référence :

equation   (160)

Ces hypothèses posées, nous utilisons aussi les résultats obtenus dans le chapitre de Méthodes Numériques sur la régression linéaire pour obtenir le bêta. Nous y avons démontré qu'il existait plusieurs manières de faire une régression linéaire donc une consiste à utiliser la covariance et l'espérance. En adoptant les notations de l'économétrie, la pente de la régression peut alors s'écrire :

equation   (161)

ce qui donne la définition rigoureuse du coefficient bêta selon le modèle de Sharpe où Ri est le rendement de l'actif financier et RI le rendement du marché (ou du portefeuille du marché/référence).

Définition (rigoureuse): Le "coefficient bêta" est donné par le rapport de la covariance des rendements et indices des actifs avec l'écart-type de l'indice du marché du portefeuille.

Maintenant, en considérant la même hypothèse que dans le modèle de Markowitz, le rendement equation d'un portefeuille est défini à nouveau assez logiquement par :

equation   (162)

Si les rendements ne sont pas explicitement connus dans les pratique, nous utilisons alors le modèle linéaire :

equation   (163)

Dès lors en utilisant les propriétés de l'espérance :

equation   (164)

Posons pour simplifier l'écriture que :

equation   (165)

Dans ce cas, comme par hypothèse equation :

equation   (166)

Finalement:

equation   (167)

Si les rendements sont explicitement données et donc connus l'espérance se calculera avec :

equation   (168)

Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance (le risque) il nous reste à déterminer cette dernière. Etant donnée que maintenant supposons explicitement connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du portefeuille (indice) du marché nous avons :

equation

Hypothèse : Si l'indice I est correctement choisi, lorsque equation nous devons avoir equation ce qui implique equation (c'est une hypothèse forte qui amène à avoir une approximation!).

Ainsi :

equation   (169)

Finalement :

equation   (170)

Ce qui donnerait donc pour un portefeuille comportant deux titres :

equation   (171)

Nous pouvons condenser la notation de la variance en utilisant les notations matricielles en notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur colonne des poids des actifs du  portefeuille par :

equation   (172)

et en en définissant la matrice des bêta :

equation   (173)

Ce qui nous donne finalement :

equation   (174)

Ce qui donne pour un portefeuille de deux titres :

equation   (175)

Nous retrouvons donc bien la même chose que la forme algébrique.

Si nous ne connaissons pas explicitement les rendements, l'étude de la variance est un peu plus délicate. Il faut alors utiliser le modèle linéaire tel que :

equation
  (176)

En outre, notons:

equation   (177)

De plus nous savons que:

equation   (178)

Dès lors:

equation   (179)

car equation.

Finalement :

equation   (180)

Dans ce contexte le problème revient toujours à maximiser la fonction économique Z :

equation   (181)

simplement que maintenant elle s'écrit :

equation   (182)

Le calcul de chacune des dérivées partielles donne alors :

equation   (183)

soit sous forme matricielle :

equation   (184)

La résolution de ce système passe alors par l'inversion d'une matrice plus simple que celle du modèle de Markovitz mais nécessite cependant des d'hypothèses relativement contraignantes.

Pour finir, signalons que les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement modéré par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé par le rapport entre le rendement (pour être plus exact il s'agit de son espérance) différentiel du rendement d'un placement (actif) sans risque et le rendement du marché (appelé le "benchmark") et la déviation standard du placement sans risque (nous déterminerons rigoureusement l'origine de cette relation plus loin lors de notre étude du MEDAF):

equation   (185)

Relation qui exprime donc le niveau de rendement pur par unité de volatilité (ou par unité de risque). Pour simplifier, c'est un indicateur de la rentabilité (marginale) obtenue par unité de risque pris dans cette gestion. Il permet de répondre à la question suivante : le gestionnaire parvient-il à obtenir un rendement supérieur au référentiel, mais avec davantage de risque?

- Si le ratio est négatif, le portefeuille a moins performé que le référentiel et la situation est très mauvaise.

- Si le ratio est compris entre 0 et 0.5, le sur-rendement du portefeuille considéré par rapport au référentiel se fait pour une prise de risque trop élévée. Ou, le risque pris est trop élevé pour le rendement obtenu.

- Si le ratio est supérieur à 0.5, le rendement du portefeuille sur-performe le référentiel pour une prise de risque ad hoc. Autrement dit, la sur-performance ne se fait pas au prix d'un risque trop élevé.

Ce qui donne en développant :

equation   (186)

Signalons également un autre indicateur courant qui est le "tracking error" et défini comme étant l'écart-type de l'écart de performance entre le portefeuille et le benchmark. Plus le trackin error est faible, plus le fond ressemble à son indice de référence en terme de risque:

equation   (187)

Ces modèles sont relativement complexes. Raison pour laquelle quelques années plus tard, Sharpe et Lintner ont créé un nouveau modèle qui leur à valu le prix Nobel d'économie et que nous allons étudier de suite après un exemple pratique de ce que nous venons de voir.

exempleExemple:

Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales et les n observations de leur rendement equation saisis dans MS Excel. Ces rendements seront comparés à un indice de référence I qui sera le rendement d'un portefeuille de marché de référence equation :

equation
  (188)

Le but est de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille avec le modèle de Sharpe.

En détail sous forme graphique voici d'abord les bêtas (rendement de l'actif en fonction du rendement du portefeuille de marché/indice de référence) obtenus avec MS Excel :

equation
  (189)

et le tableau de construction suivant pour le calcul des bêta, la variance et l'espérance du portefeuille du marché et des différents titres :

equation
  (190)

Voici les détails du calcul (remarquez que les bêtas sont obtenus à l'aide d'une simple régression linéaire avec l'indice de référence qui est le portefeuille et les autres paramètres avec les estimateurs non biaisés) :

equation

equation
  (191)

L'espérance du rendement du portefeuille composé des trois titres est facile à calculer puisque nous avons leur rendement. Donc :

equation   (192)

Ce qui donne sous MS Excel :

equation
  (193)

Soit de manière détaillée :

equation
  (194)

Maintenant, il nous faut calculer l'espérance en utilisant la relation démontrée dans la partie théorique des paragraphes précédents :

equation   (195)

avec pour rappel dans notre cas particulier :

equation   (196)

avec dans notre exemple equation (cellule B13).

Soit sous forme développée pour notre exemple :

equation   (197)

Ce qui donne dans MS Excel pour notre matrice des bêtas :

equation   (198)

Soit sous forme développée (la matrice est symétrique) :

equation   (199)

Et finalement le couple variance/espérance du portefeuille est donné par :

equation   (200)

Soit sous forme détaillée :

equation   (201)

Une fois ceci fait, nous procédons comme pour la frontière de Markowitz. Nous utilisons le solveur en minimisant la variance tout en imposant une espérance et une contrainte comme quoi la somme des parts des actifs financiers est égale à l'unité :

equation
  (202)

Ce qui donne le tableau variance/rendement suivant (à comparer avec le même tableau de Markowitz) :

equation
  (203)

et le graphique suivant (comparaison directe avec Markowitz mise en évidence) :

equation
  (204)

La suite de l'exercice (C.M.L.) se fait de la même manière que dans le modèle de Markowitz.


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