MODÈLE D'évaluation des options de BLACK & SCHOLES



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés doit son succès, grâce à l'équation de Black & Scholes conçue dans les années 1970 (et publiée en 1973) qui permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doit payer un client pour acquérir un Call ou un Put et la stratégie que devra suivre le vendeur de ces options pour se couvrir du risque (pour ne citer que l'exemple le plus connu). Evidemment ce modèle ne fonctionne que si les périodes temporelles considérées sont relativement courtes (de l'ordre de la semaine ou de quelques mois aux mieux). Au delà l'utilisation de ce modèle théorique particulier est une farce!

Black, Scholes et Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués, donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows, Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. Ce modèle est aussi considéré ceci dit comme un des facteurs principaux du crasch boursier de 1987 par certains spécialistes...

Ce que nous aimerions dans ce qui va suivre, est de déterminer la valeur théorique de la prime d'une option à partir des cinq données suivantes :

1. La valeur actuelle de l'actif financier sous-jacent de l'option (déterminée par la spéculation du marché).

2. Le temps qui reste à l'option avant son échéance (choisie par la société émettrice).

3. Le prix d'exercice (strike) fixé par l'émetteur subjectivement ou après modélisation.

4. Le taux d'intérêt sans risque (supposé comme étant le taux de rendement attendu du sous-jacent).

5. La volatilité (écart-type) du prix du sous-jacent de l'option (mesurée sur le marché).

La prime l'option ainsi déterminé sera unique et équitable pour les deux parties. Effectivement, le système des options permettrait de faire payer un prix d'option (prime) majoré par rapport au comportement aux prévisions du marché et donc de générer à coup sûr et à partir de rien un profit mais les nombreux acteurs du marché vont faire jouer la concurrence pour être au plus juste et attirer le client sur leurs options plutôt que sur celles de la concurrence.

La modélisation du cours des options (Black & Scholes) repose sur l'utilisation du calcul différentiel stochastique. Ainsi, l'approche de Black et Scholes suppose que l'évolution du cours de l'action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

ÉQUATION DE PARITÉ CALL-PUT

Avant de nous attaquer a des calculs stochastiques un peu ardus il est utile d'établir au préalable une équation dite de "parité Call-Put" qui nous servira de sorte d'équation de conservation pour vérifier la validité des résultats que nous établirons par la suite sur l'évaluation des prix des options.

L'objectif va être de répondre à la question suivante :

Quelle somme M devons nous payer maintenant pour recevoir une somme garantie E appelée "prix d'exercice" (ou "strike price") à un temps futur T ?

Ainsi, nous avons vu lors de notre étude du calcul d'intérêts qu'en considérant un capital C et un intérêt r constant nous avions trivialement :

equation   (246)

Dès lors, en posant equation et equation nous avons :

equation   (247)

d'où :

equation   (248)

Mais cette relation n'est pas tout à fait juste. Effectivement, nous devons avoir M = E assuré au temps T - t . Dès lors nous somme naturellement amenés à poser :

equation   (249)

Nous allons maintenant supposer que le Call et le Put possèdent les caractéristiques suivantes :

1. Même support qui vaut S à l'instant t.

2. Même échéance T

3. Même prix d'exercice E

Dès lors, étant donnée C le prix d'un Call et P le prix d'un Put à même échéance T et à même valeur et S un titre, nous avons alors pour la valeur du portefeuille :

equation   (250)

Cette relation ainsi que les précédentes supposent les hypothèses suivantes :

1. Il n'existe pas de coûts de transaction

2. Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement)

3. Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e. entre [0;T] ).

4. Les options sont européennes

En nous posant maintenant la question :

Quelle somme devons nous payer maintenant pour un portefeuille afin de recevoir une somme garantie E (prix d'exercice) à un temps futur T ?

Le portefeuille pouvant être considérée comme une boîte noire, rien ne nous empêche dès lors d'écrire :

equation   (251)

qui n'est rien d'autre que "l'équation de parité Call-Put".

Cette relation montre que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice E et maturité T peut être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice E et la même maturité T.

HypothÈsE efficiente du marchÉ

Le modèle de Black & Scholes se base sur le postulat que le marché est "efficient". 

Définition: Un "marché efficient" (efficient market hypothesis en anglais... - abrégée E.M.H) est un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux.

Nous pouvons distinguer trois types de marchés efficients qui sont fonction du type d'information disponible:

1. L'hypothèse de marché efficient en "forme faible" qui explicite que les prix reflètent toute l'information contenue dans la série historique des prix

2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute l'information publique disponible.

3. L'hypothèse de marché efficient en "forme forte" qui établit que toute l'information connue, publique et privée, est reflétée dans les prix du marché.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles (voir plus loin) en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y reviendrons). Plus spécifiquement ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient aider à anticiper les prix futur des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelle information; l'évidence en faveur d'un rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de profiter sur la base d'information privilégiée (information accessible à un petit groupe des agents économiques). Etant donné qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience.

Ceci implique les hypothèses suivantes (pour résumer en gros) :

H1. L'histoire passée du cours de l'option est complétement réfléchie dans le prix présent qui ne contient lui pas d'autres informations sur l'option

H2. Le marché réponde immédiatement à toute nouvelle information sur le prix d'une option.

Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés, leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficient dépendent d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils peuvent faire mieux que le marché !

Ce postulat est source de beaucoup de débats dans le domaine...

Remarque: Avec les deux hypothèses précédement énononcées, tout changement non-anticipé dans le prix de l'option est appelé un "processus de Markov". 

Rappel : Un processus de Markov est un processus dont l'évolution future  ne dépend de son passé qu'à travers son état à l'instant. Or, le cours d'une action n'est vraisemblablement pas un processus de Markov (la "mémoire" du processus est probablement plus longue - par exemple une tendance saisonnière).

PROCESSUS DE WIENER

Soit equation la variation de la valeur d'une option (ou autre actif financier volatile) sur un petit intervalle de temps noté equation.

Nous posons que (dans le sens que la variation de l'option est similaire à la variation de la valeur du sous-jacent!):

equation   (252)

et avec à l'aide de la connaissance des deux résultats majeurs du modèle de Bachelier vu plus haut nous avons donc pour les variations de la valeur de l'option une espérance positive dépendante de manière proportionnelle à la racine carrée du temps selon:

equation  (253)

où nous posons comme hypothèse (acceptable... car nous travaillons sur de petites variations pour rappel!) que le coefficient d'instabilité est une fonction:

equation   (254)

où rappelons-le, N(0,1) est la notation de la loi Normale centrée réduite telle que nous l'avons établie dans le chapitre de Statistiques.

Remarque: Souvent dans le domaine de l'économie, nous notons WN au lieu de N en hommage à Wiener.

Ceci dit, la relation antéprécédente est souvent notée de manière généralisée:

equation   (255)

et définie comme étant un "mouvement brownien standard" avec "bruit blanc" (loi marginale de type Normale), ou "mouvement brownien arithémtique", où le W est là par hommage à Wiener! Il est intéressant de remarquer que le mouvement brownien est supposé indéfiniment divisible (ce qui signifie que la période temporelle prise n'influe pas sur la loi de probabilité qui reste toujours la même... c'est une propriété fractale du mouvement brownien qui a été creusée par Mandelbrot aussi!).

Il est possible de produire un graphique de ce mouvement brownien dans MS Excel avec dans la colonne A le temps avec un pas equation typique de 0.01 [s] et dans la cellule B2 la formule suivante:

=B1+NORMSINV(RAND())*SQRT(0.01)

où B1 contient la valeur 0.

Nous obtenons alors pour 4 colonnes du même type les variations de valeurs suivantes:

equation
  (256)

Les mouvements browniens standards ont certaines propriétés remarquables comme nous pouvons le voir: la trajectoire à tendance à alterner au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses. Cela provient de ce que la loi Normale considérée est d'espérance nulle, autrement dit qu'il n'y pas de tendance générale à la hausse ou à la baisse des variations (pour le vérifier faites au moins 30'000 points dans MS Excel et vous verrez....).

Il est facilement possible de caractériser equation à l'aide de son espérance :

equation   (257)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

equation   (258)

donc nous pouvions nous attendre à ce résultat d'absence totale de tendance générale (c'était quasi-intuitif!).

Nous pouvons également caractériser equation à l'aide de sa variance :

equation   (259)

d'où :

equation   (260)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

equation  (261)

Finalement (au fait ce résultat découle de manière immédiate de la propriété de linéarité de la loi Normale):

equation   (262)

Donc pour résumer un peu les choses...

1. Nous savions avec le modèle de Bachelier que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur sont proportionnelles à la racine carrée du temps. Nous avons utilisé ces deux résultats ici.

2. Nous savons maintenant (sous l'hypothèse bien précise d'une coefficient de type Normal) que les variations ont un espérance (tendance) nulle et un écart-type proportionnel à racine carrée de la variation temporelle

La propriété qui vient d'être établie reste valable pour un grand intervalle de temps noté T correspondant à n petits intervalles equation!!! En d'autres termes :

equation   (263)

Dans ce contexte, il convient de remplacer equation par:

equation   (264)

Or :

equation   (265)

Comme dans l'hypothèse d'une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est possible de caractériser equation à l'aide de son espérance et de son écart type :

equation   (266)

ce qui est logique...

Nous retrouvons alors, pour un grand intervalle de temps T :

equation   (267)

que nous pouvons aussi écrire sous la forme suivant en utilisant les propriétés de la loi Normale:

equation   (268)

résultat auquel nous pouvions raisonnablement nous attendre avec les hypothèses susmentionnées...

Ce dernier résultat est écrit sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

equation   (269)

et nous voyons que c'est peu réaliste car cela signifierait que tout actif financier suit la même loi (quelque soit sa volatilité....) et n'aurait aucune tendance générale à la baisse ou à la hausse. Nous verrons de suite comment améliorer cette approche.

Pour clore cette approche, remarquons que si equation tend vers 0 (ce qui revient à considérer une subdivision du temps T en intervalles extrêmement petits)  le cours subit sur la période T un nombre infiniment grand de variations. En d'autres termes, le processue d'évolution du cours de l'option est continu, ce qui conduit à remplacer equation par dt, equation par dx et equation par dz.

Dans ce cas, nous obtenons :

equation   (270)

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi l'équation différentielle stochastique).

Mais évidemment ceci n'est pas vraiment conforme à la réalité comme nous l'avons déjà mentionné... Nous préférons alors ajouter un décalage constant dans le temps ce qui donne le mouvement brownien que nous allons voir maintenant.

MOUVEMENT BROWNIEN généralisé

Dans ce cas (généralisation un peu plus réaliste), l'évolution du cours dépend non seulement d'un processus aléatoire brownien standard (deuxième terme ci-dessous à droite de l'égalité), mais également d'un paramètre de tendance centrale, ou "drift" (premier terme ci-dessous à droite de l'égalité):

equation   (271)

avec toujours :

equation   (272)  

et :

equation   (273)

Nous avons donc un mouvement brownien généralisé, constituté d'un mouvement brownien standard (dz représenté donc par une loi normale d'espérance nulle et de variance dt comme nous l'avons vu plus haut) et d'un drift. Dans ce scénario, a et b sont imposés comme constants contrairement au cas encore plus général que nous verrons un peu plus loin.

La relation antéprécédente est souvent représentée dans la littérature sous la forme différentielle suivante:

equation   (274)

Donc graphiquement cela donne, en rajoutant ce drift et en prenant une valeur positive et non nulle pour a, un mouvement brownien qui aura tendance à alterner au-dessus et en dessous du drift:

equation
  (275)

Sur un petit intervalle de temps equation, le processus, en temps discret s'écrit bien évidemment :

equation   (276)

Dans ce cas, nous avons :

equation   (277)

dans la mesure où seule equation a une composante aléatoire.

Ainsi :

equation   (278)

Finalement :

equation   (279)

En subdivisant une période T en n intervalles de temps equation (soit equation), la variation du cours devient sur cette période T :

equation   (280)

Dès lors :

equation   (281)

Finalement :

equation   (282)

Soit:

equation   (283)

ou encore :

equation   (284)

Il est alors aisé de comprendre pourquoi nous disons que la loi de Gauss régit la variable aléatoire obtenue en arrêtant un processus brownien à un instant donné: c'est une photo instantanée du mouvement brownien simple ou généralisé!

En choisissant:

equation   (285)

Nous avons alors la relation antéprécédente qui s'écrit traditionnelement sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

equation   (286)

equation est le rendement en % de l'actif financier et equation la volatilité du rendement en %.

Il est alors intéressant pour le financier de créer un graphique qui représente l'espérance en fonction de T et la valeur x(T) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5% sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans MS Excel et on tombe typiquement en jouant avec plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur quelque chose du genre (portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%):

equation
  (287)

Avec le tableau suivant:

equation
  (288)

Utilisant donc les relations démontrées plus haut:

equation
  (289)

Évidemment dans la pratique il est possible de faire ce type de graphique avec n'importe quelle donnée comportant un drift linéaire et dont l'écart-type est connu.

PROCESSUS D'ITô

Considérons maintenant un processus brownien correspondant à une variation de x en temps continu définie par :

equation   (290)

a et b étant alors des fonctions des 2 variables x et t. Cette considération est ce que nous appelons un "processus d'Itô". Il s'agit donc d'une généralisation du cas précédent où a et b ne sont plus constants.

Il est possible de calculer l'espérance et la variance de dx exactement de la même façon à celle que pour le processus de Wiener et nous obtenons très facilement par analogie   :

equation   (291)

Par conséquent nous pouvons écrire :

equation   (292)

a(x,t) correspondant au drift instantané et b(x,t) à la variance instantanée.

Le "mouvement brownien géométrique" qui permet de définir théoriquement la meilleure prédiction d'évolution du rendement d'une option est un cas particulier de processus d'Itô (parmi tant d'autres modèles...) où nous supposons que :

equation   et    equation   (293)

Dès lors nous pouvons écrire l'expression du mouvement brownien géométrique de la valeur de l'option notée :

equation   (294)

Souvent représentée dans la littérature aussi sous la forme suivante:

equation   (295)

ou encore plus explicitement:

equation   (296)

L'interprétation financière de la relation antéprécédente devient apparente lorsque nous divisons les deux membres par x:

equation

ce qui correspond aux taux de rentabilité de l'option (ou tout autre actif de la même famille) sur une période infinitésimale dt.

Le mouvement brownien géométrique est donc à priori un bon candidat pour modéliser l'évolution du prix d'un actif financier à partir de son taux de rentabilité.

Dans la littérature spécialisée, le return (rendement) est aussi parfois noté (notation justifiée) sous la forme de l'équation différentielle stochastique (E.D.S.) suivante :

equation   (297)

equation est bien évidemment le prix de l'option (sous-jacent) appelé "stock price" au temps t, equation est appelé la "dérive" (assimilé souvent au rendement) et equation la "volatilité" (la volatilité du rendement). C'est la notation et le vocabulaire que nous adopterons pour la suite.

A noter que puisque nous avons:

equation   (298)

Nous pouvons donc aussi écrire:

equation   (299)

Au cas où equation (processus de Wiener, autrement dit le prix de l'action est parfaitement connu à un temps donné et sans risques), nous nous retrouvons avec une équation différentielle (connue dans le domaine) que nous pouvons de suite résoudre :

equation   (300)

Il s'agit donc d'une exponentielle (comme l'intérêt continu que nous avons vu au début de chapitre). Cette relation n'étant valable que si l'intervalle de temps est donc très petit.

Nous allons voir maintenant à l'aide du "lemme d'Ito", qu'il est possible (ce qui n'est pas une possibilité unique!) d'établir qu'un tel processus peut définir une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques).

Le lemme d'Ito est établi à partir du développement de Taylor à 2 variables x et t donnée par (cf. chapitre de Suites et Séries) :

equation   (301)

avec equation à l'origine du mouvement brownien.

En considérant equation, et en prenant les termes que jusqu'au deuxième ordre (approximation formelle périlleuse mais numériquement non obligatoire à l'aide de la puissance de calcul des ordinateurs), nous avons :

equation   (302)

Revenons maintenant à  :

equation   (303)

Elevons au carré, nous obtenons :

equation   (304)

Or :

equation   (305)

et comme nous l'avons démontré en probabilités et statistique:

equation   (306)

Nous avons alors :

equation   (307)

Donc :

equation   (308)

Par ailleurs :

equation   (309)

qui tendent tout deux vers 0 quand equation tend vers 0.

Par conséquent :

equation   (310)

En considérant une subdivision du temps en intervalles dt extrêmement petits qui implique equation, donc en se plaçant en temps continu (donc un modèle continu), l'application du développement de Taylor peut alors s'écrire:

equation   (311)

il s'agit du lemme d'Ito également appelé "théorème d'Itô-Doeblin".

Remarque: Comparer la forme de la dernière égalité à la relation equation

Si nous prenons:

equation   (312)

Dès lors :

equation   (313)

Dans ce cas :

equation   (314)

En revenant à l'hypothèse de mouvement brownien géométrique, nous savons que nous devons considérer que :

equation et equation   (315)

Nous avons donc :

equation   (316)

et nous obtenons finalement l'équation différentielle stochastique à coefficient constants :

equation   (317)

Soit en reprenant la notation du début sous forme explicite:

equation   (318)

ou sous une autre forme encore plus explicite:

equation   (319)

Nous voyons déjà que contrairement au modèle de Bachelier, avec ce mouvement brownien géométrique, le rendement espéré peut être négatif ce qui est déjà plus réaliste!

Remarques:

R1. Se rappeler que nous sommes partis de la relation equation

R2. Les mouvements browniens ont été successivement dégagés de l'hypothèse de Normalité dans les années 1960), puis de l'hypothèse de stabilité dans les années 1980. Avec ces deux hypothèses les mathématiciens les rangents dans la catégorie particulière et réductire des "processus de Lévy 2-stables".

dF définit alors un mouvement brownien géométrique avec drift particulier dont nous pouvons maintenant mesurer les paramètres (c'est ce que nous voulions obtenir). Par conséquent, les résultats que nous avions obtenu pour le mouvement brownien peuvent êtres récupérés et nous permettent d'écrire au final:

equation   (320)

ce qui revient dire que dF suit une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques) de paramètres:

equation et equation   (321)

Allons maintenant un peu plus loin en intégrant l'élément différentiel. Nous avons donc:

equation   (322)

Intégrons cette dernière relation:

equation   (323)

La première primitive est simple:

equation   (324)

La deuxième primitive est simple (pas de constante d'intégration cas au temps zéro l'espérance de gain est nulle):

equation   (325)

La troisième primitive vaut (pas de constante d'intégration car au temps zéro la valeur du gain est parfaitement connue comme valant 0):

equation   (326)

Nous avons donc:

equation   (327)

Et au final:

equation   (328)

Pour trouver la signification du premier facteur il suffit de poser la condition initiale:

equation   (329)

Nous avons alors immédiatement pour l'expression finale du brownien géométrique:

equation   (330)

obtenue par P. Samuelson en 1965 et qui est parfois appelée "modèle de Bachelier-Samuelson".

Nous avons au final une formulation (sous forme de fonction de distribution probabiliste) d'une variation temporelle et du return intrinsèque d'une action qui peut être utilisé à des fins décisionnelles d'investissements sur une prévision. Mais ce modèle est quand même trop lisse en n'arrive pas à modéliser les krachs boursiers (il est est de même pour rappel avec le mouvement brownien standard) pouvant arriver sur le long terme. Raison pour laquelle certains modèles plus récents que nous n'étudierons pas ici ajoutent un processus de Poisson (discret et à évenement rares par construction) à celui de Wiener.

Il existe d'autres modèles que le log-normale mais celle-ci de par sa facilité est la plus répandue. Il faut cependant encourager d'autres méthodes plus généraliste!

Pour terminer cette partie résumons donc par une comparaison le mouvement brownien standard et le mouvement brownien géométrique qui régissent donc la dynamique des cours lorsque les paramètres (rendement et volatilité instantanée) sont données en %:

equation   (331)

et rappelons que l'avantage du mouvement brownien géométrique est qu'il élimine (grâce à l'exponentielle) les valeurs négatives du cours que nous pouvions obtenir avec le mouvement brownien standard de Bachelier.

Il est alors intéressant pour le financier de créer un graphique qui représente l'espérance en fonction de T et la valeur x(T) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5% sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans MS Excel et on tombe typiquement en jouant avec plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur quelque chose du genre (portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%):

equation
  (332)

Avec le tableau suivant:

equation
  (333)

Utilisant donc les relations démontrées plus haut ($B$2 contient la valeur 500):

equation
  (334)

et pour l'intervalle de confiance à 95%:

equation
  (335)

Il est intéressant de comparer l'évolution de portefeuilles ayant les mêmes paramètres (volatilité et rendement) sur la même période de temps. Cela donne alors graphiquement:

equation
  (336)

Donc dans 6 mois, nous voyons que le portefeuille à 95% de probabilité cumulée de se situer entre 404.49 et 885.90 millions avec une espérance de 662.54 millions.

Enfin, le lecteur remarquera que l'on peut généraliser l'écriture des deux mouvements browniens (en prenant le logarithme népérien en ce qui concerna le mouvement brownien géométrique) en les écrivant sous une forme proposée par Mandelbrot en 1962:

equation   (337)

equation et c sont respectivement les paramètres de localisation (rentabilité moyenne) et de dispersion (volatilité non gaussienne) du processus, et où equation désigne le mouvement equation-stable standard de Lévy.

Le problème avec ce modèle c'est la perte de l'existence, pour certaines lois de probabilité qui marchent très bien, du deuxième moment (la variance) si important en termes de communication et d'images pour les professionnels dans les années 1970 car il leur servait d'unique mesure du risque. L'absence de variance finie constitua vraisemblablement l'une des causes les plus puissantes du rejet.

ÉQUATION DE BLACK & SCHOLES

Nous avons obtenu lors des développements précédents, sous la contrainte d'une loi log-normale et d'un mouvement brownien, l'équation différentielle suivante pour la marche aléatoire de la valeur de l'action :

equation
  (338)

Soit avec les bonnes notations:

equation
  (339)

Si nous construisons maintenant un portefeuille consistant en une option et un nombre equation de titres sous-tendants (souvent aussi noté equation dans la littérature). La valeur du portefeuille est alors exprimée par :

equation   (340)

Le différentiel temporel du portefeuille s'écrit alors :

equation   (341)

Vous remarquerez que nous supposons constant (et négatif) le nombre equation durant le différentiel de temps.

En réunissant les relations précédentes et (nous adoptons ici la notation traditionnelle usitée dans le domaine de l'économétrie où) l'équation de l'actif risqué donné donc par:

equation   (342)

nous obtenons:

equation   (343)

où nous avons dans le crochet tout à droite le mouvement brownien géométrique.

Ce qui donne après réarrangement des termes l'équation différentielle du portefeuille:

equation   (344)

Considérons maintenant que equation est lié par la relation de dépendance spéculative (dont nous prenons la valeur entière) qui élimine de la relation précédente la partie risquée du portefeuille (c'est le dz qui génère le risque de manière aléoitre pour rappel!):

equation   (345)

Nous pouvons alors écrire :

equation   (346)

Or, nous avons également pour l'actif sans risque :

equation   (347)

noté parfois aussi dans littérature:

equation   (348)

En substituant maintenant les quatre relations :

equation   (349)

dans :

equation   (350)

Nous obtenons :

equation   (351)

qui n'est d'autre que "l'équation différentielle partielle (sans second membre) de Black & Scholes".

Le lecteur aura noté que le paramètre equation (dérivation) est absent de cette équation! En d'autres termes, la valeur d'une option est indépendante de la vitesse de variation des valeurs des titres sous-jacents. Le seul paramètre qui affecte le prix de l'option est la volatilité equation de l'option sous-jacente. Une conséquence de cela est que deux personnes ayant des opinions divergentes quand à la valeur de equation sont toujours en entente sur la valeur de l'option.

L'objectif bien évidemment est de résoudre cette équattion différentielle afin de déterminer le return F(S,t). Celle-ci ne se laisse par ailleurs pas résoudre en deux lignes.

Avant de nous attaquer à cette tâche quelques définitions et indications pratiques préalables concernant certains paramètres sont utiles et nécessaires (nous déterminerons leur forme explicite après la résolution de l'équation différentielle):

PORTEFEUILLE AUTOFINANCANT SUR SOUS-JACENT RISQUÉ

Une stratégie de portefeuille autofinançante est une stratégie dynamique d'achat ou de vente de titres et de prêts ou d'emprunts à la banque, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait de cash (nous aurions pu introduire ce sujet dès le début du chapitre mais nous avons jugé plus opportun de ne le faire que maintenant).

Nous supposerons ici pour l'exemple que nous ne pouvons investir que dans un seul titre (placement risqué), et dans du cash (placement supposé non risqué), c'est-à-dire en plaçant ou empruntant de l'argent à une banque.

Nous désignons par equation le prix à la date t du titre, par equation le taux d'intérêt pour un placement entre equation à la banque.

Soit equation la valeur de marché, ou encore valeur liquidative, ou encore "Mark to Market" (M.t.M.) du portefeuille à la date t. Après renégociation, le nombre d'actions equation du portefeuille est constant jusqu'à la prochaine date de gestion. Pour simplifier, nous supposons pour le moment que le gestionnaire ne prend en compte dans sa règle de décision la valeur du cours du sous-jacent qu'au moment de renégocier.

Dans un temps très court, la variation de valeur du portefeuille n'est due qu'à la variation de la valeur du sous-jacent et à l'intérêt versé par la banque sur le cash, soit, puisque le montant investi dans le cash est :

equation   (352)

nous avons "l'équation d'autofinancement":

equation   (353)

Ainsi, pour un vendeur de Call (par exemple...), il s'agit de trouver le coût initial equation et la stratégie equation qui permettent d'obtenir (les financiers parlent de "réaliser l'actif financier"):

equation   (354)

dans tous les scénarios de marché. S'il existe une telle stratégie de couverture, nous disons alors que nous avons affaire à un "marché complet".

LES GRECS ET AUTRES...

Définitions:

D1. Le "delta" d'une option, qu'il est important de comprendre (ou de savoir), donnée par :

equation   (355)

et représente le taux de changement de la valeur des options du portefeuille dépendamment des valeurs des titres sous-jacents S (mathématiquement parlant c'est donc la dérivée première de la prime de l'option sur le prix du sous-jacent). Ce terme est fondamental dans la théorie et dans la pratique et nous en ferons fréquemment usage. C'est donc une mesure dans la corrélation entre le mouvement de l'option ou autres actifs financiers et dérivés et les sous-jacents.

Considérons par exemple qu'un Call sur l'action ABC est de delta 0.25 avec un cours du support (spot) à 90.- et une prime à 5.-. Lorsque le cours de l'action ABC passe de 90.- à 91.-, la prime de l'option va augmenter alors de 1 delta, et devient alors 5.25.-. Lorsque le cours de l'action ABC passe de 90.- à 88.-, la prime de l'option va diminuer de 2 fois delta, et devient 4.50.-. Cette variation et termes de delta (nombre entier) est alors notée equation.

Le delta est donc paramètre le plus important pour un praticien qui veut se couvrir contre le risque. Effectivement, afin d'obtenir le delta global d'une position, il suffit de multiplier la valeur du delta de chaque option par sa position. Puis on fait la somme de tous ces deltas.

Par exemple, si nous sommes vendeur de 5 calls C1 et acheteur de 7 Call C2 alors notre delta global sera égal à :

equation   (356)

La valeur de ce paramètre nous informe sur la quantité de sous-jacent à acheter ou vendre afin d'immuniser la valorisation de notre portefeuille aux variations du cours de ce sous-jacent. Nous disons alors qu'il s'agit d'une "stratégie en delta-neutre".

Ainsi, les gestionnaires vont entre la date à laquelle ils ont encaissé la prime (en ayant vendu un contrat d'option) et sa maturité T tout naturellement gérer en delta-neutre au fil du temps un portefeuille autofinancé constituté de equation actifs sous-jacents S à chaque instant t, afin de disposer de façon certaine (donc sans risque) de la cible stochastique à la maturité. Nous parlons aussi de "portefeuille de couverture".

D2. Le "thêta" d'une option donne la sensibilité du prix de l'option par rapport à sa maturité et est donné par:


equation   (357)

Appliqué à notre portefeuille, le thêta nous donne la valeur perdue ou gagnée suite à l'écoulement d'une journée par exemple.

D3. Le "rhô" calcule la sensibilité du prix de l'option par rapport au taux d'intérêt et est donné par:

equation   (358)

Cet indicateur semble être assez peu utilisé par les professionnels.

D4. Le "véga", représenté par la lettre nu minuscule car le nom véga n'est pas lui-même un nom de lettre grecque, mesure la sensibilité de l'option par rapport à la volatilité et est donné par:

equation   (359)

La volatilité est le paramètre déterminant du prix d'une option. L'impact de la variation de ce paramètre sur la valorisation de notre portefeuille est donc très important pour les trader sur options.

D5. Le "gamma" correspond à la dérivée du delta et est donc donné par:

equation   (360)

Une lecture possible du gamma est le sens d'évolution du delta en fonction du prix du sous-jacent. Un gamma positif indique que prix du sous-jacent et delta évoluent dans le même sens, alors qu'un gamma négatif montre le contraire.

D5. "L'opérateur différentiel linéaire de Black & Scholes"equation donné par :

equation   (361)

aurait une interprétation financière comme mesure de la différence entre le retour d'une option (les deux premiers termes) et l'ensemble d'un portefeuille contenant cette option (les deux derniers termes). Dans le cas d'une option européenne, nous aurions dès lors que la différence des couples de ces termes doit être nulle tel que :

equation   (362)

Je ne suis pas tout à fait convaincu mais si un spécialiste qui lirait ces lignes pourrait m'expliquer qu'il me contacte via la page ad hoc du site.

Bref, ceci étant dit, nous pouvons donc avoir l'écriture technique suivante de l'E.D.P. de Black & Scholes:

equation   (363)

RÉSOLUTION DE L'E.D.P. DE BLACK & SCHOLES

Avant de nous attaquer à la résolution de l'équation B.S. donnons déjà les solutions avec un rappel des termes (cela permettra d'avoir une idée préalable des concepts utilisés lors des développements et de plus je ne risque pas d'écrire ceux-ci avant quelques années faute de temps...) :

Soient F(S,t) la valeur d'une option Call C(S,t) ou Put P(S,t), equation la volatilité du sous-jacent, E le prix d'exercice (strike), T la date d'expiration et r l'intérêt

- Pour le Call européen (valeur de l'option d'achat de maturité T et de strike K) la solution (dont la démonstration doit encore être rédigée dans ce chapitre...) est :

equation   (364)

N(x) est donc la loi Normale centrée réduite :

equation   (365)

avec :

equation   (366)

et :

equation   (367)

La distribution normale cumulée de ce paramètre représente la probabilité que l'option soit exercée dans un univers risque-neutre. Multiplié par E, la valeur normale cumulée du paramètre précédent représente donc en quelque sorte l'espérance, en univers risque-neutre, de paiement du prix d'exercice. L'exponentielle se trouvant dans l'expression de C(S,t) est la facteur d'actualisation.

- Pour le Put européen (valeur de l'option de vente de maturité T et strike K) :

equation   (368)

Dès lors, le "delta du Call" que nous avions déjà introduit plus haut est donné dans ce modèle par l'expression exacte :

equation   (369)

et le "delta du Put" par :

equation   (370)

et il est facile de vérifier que ces solutions satisfont l'équation de parité Put-Call :

equation   (371)

et voici les commandes intégrées à MS Excel pour faire le calcul :

equation   (372)

Remarque: Il est sûr que les équations de Black & Scholes ont permis l'essor des marchés aux options, en permettant une spéculation sécurisée. Cela reste de la spéculation (les acteurs spéculent les uns par rapport aux autres sur la volatilité des actions), mais cette spéculation reste sécurisée par l'équation de couverture, qui évite que les pertes ne soient trop importantes. Il existe néanmoins des inconvénients à leur utilisation. Le plus important est sûrement l'effet d'emballement qu'elles provoquent. Supposons par exemple que vous êtes le vendeur d'une option sur l'action d'une société S. Celle-ci annonce des résultats légèrement inférieurs à ceux attendus. Son cours baisse, et c'est normal. L'équation de couverture de Black & Scholes vous recommande alors de diminuer le nombre d'actions de cette société dans votre portefeuille, ce que vous faites. Mais tous les acteurs du marché font le même raisonnement, engendrant une nouvelle baisse du cours de l'action. L'équation de couverture de Black and Scholes vous recommande de vendre encore des actions, etc.... Cela peut déclencher un véritable emballement du marché, à la baisse comme à la hausse. Ceci est accentué par le fait que bien souvent, les ordres d'achat ou de vente sont automatisés, implémentés directement dans les logiciels, et ne nécessitent plus d'interventions humaines. D'autre part, l'équation de couverture de Black & Scholes est efficace pour de petites variations de cours, mais pas pour des "dévissages" brutaux et importants. Ainsi, un an à peine après avoir reçu leur prix Nobel d'Économie, Robert Merton et Myron Scholes furent impliqués dans la déconfiture du fonds d'investissement américain LTCM à l'automne 1998, à la suite de la grave crise russe de l'été 1998.

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