MODÈLE D'ÉVALUATION DES ACTIFS FINANCIERS (MEDAF)



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Comme nous l'avons vu, Markowitz (1959) a développé la théorie du choix optimal d'un portefeuille par un individu sur la base du rendement espéré de la variance. Plus tard (1963) , Sharpe élabore une modèle de choix d'actifs basé sur des indices de risques comme les coefficients bêta.

Sharpe, Lintner et Mossin (1965) ont ensuite étudié les conséquences de ces théories pour mettre en place une théorie extrêmement simple permettant d'évaluer les coefficients bêta, les rendements espérés et les variances d'actifs financiers d'un portefeuille à partir de données statistiques sur le marché global et de la spécificité de la composition d'un portefeuille.

Cette théorie basée encore une fois sur le problème moyenne-variance est appelée "modèle d'évaluation des actifs financiers" (MEDAF) ou "capital asset pricing model" (C.A.P.M.) est donc un modèle très souvent utilisé, aussi bien par les praticiens que par les académiciens, pour évaluer les rendements anticipés d'équilibre sur n'importe quel actif risqué sur le marché.

Pour commencer, rappelons que nous avons vu plus haut lors de notre étude du return que le taux de rentabilité périodique (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel) d'un actif se calcule comme suit :

equation   (205)

avec equation qui est le prix d'un actif à la fin de la période t, equation le prix d'un actif à la fin de la période t-1 et finalement equation le flux monétaire payé par l'actif pendant la période de détention allant de t-1 à t.

Cette relation sert à calculer le "rendement réalisé" (ex post) d'un titre alors qu'au fait c'est le "rendement espéré" qui intéresse un investisseur donné.

À la date de la prise de la décision, le rendement que va réaliser l'investisseur en détenant un actif donné est incertain, c'est pour cette raison qu'on parle de rendement espéré: il s'agit d'un rendement que l'on cherche à évaluer et qu'on espère recevoir dans la prochaine période d'investissement.

Pour calculer le rendement espéré, comme nous l'avons déjà vu, il convient d'attribuer à chaque valeur possible du rendement une probabilité de réalisation, puis de calculer une moyenne pondérée de ces différentes valeurs possibles en utilisant les probabilités equation comme pondérations :

equation   (206)

Or, il est clair que dans une économie donnée, l'investisseur sera tenté de détenir plusieurs actifs financiers et cherchera donc à composer des portefeuilles. Le rendement (moyen) espéré d'un portefeuille peut être calculé en utilisant la relation connue :

equation   (207)

avec n qui est le nombre de titres inclus dans le portefeuille, equation le rendement de l'actif i inclus dans le portefeuille et equation la proportion de la richesse totale de l'investisseur investie dans l'actif i.

Le taux de rendement espéré est cependant insuffisant pour caractériser une opportunité d'investissement et il faut tenir compte également du risque, c'est à dire de la variabilité du rendement de cet investissement sur l'actif financier. La variance est comme nous l'avons déjà vu utilisée comme mesure du risque et donnée pour un actif financier par :

equation   (208)

Soit :

equation   (209)

Le calcul du risque d'un portefeuille fait donc intervenir deux concepts importants: la variabilité du rendement de chacun des actifs, mesurée par les variances de ces derniers, ainsi que les relations existantes entre les différents actifs composant le portefeuille.

La dépendance entre deux actifs est souvent mesurée, comme nous en avons déjà fait mention lors de notre étude des return, par la covariance ou encore le coefficient de corrélation linéaire.

La covariance entre deux actifs i et j se calcule comme suit :

equation   (210)

Soit comme nous le savons si les probabilités sont équiprobables :

equation   (211)

La covariance entre les rendements de deux titres peut être positive ou négative et sa valeur n'a aucune signification économique comme nous le savons (cf. chapitre de Statistiques).

Remarque: Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques que lorsque les rendements (valeurs) de deux actifs (variables aléatoires) varient dans le même sens (dans le sens contraire) la covariance sera positive (négative).

Le coefficient de corrélation entre deux actifs i et j quant à lui se calcule comme suit (cf. chapitre de Statistiques):

equation   (212)

Une fois les variances et covariances des différents actifs calculés, nous serons en mesure de calculer la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs. Cette variance est donnée par la relation suivante (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (213)

ou écrit autrement :

equation   (214)

La relation ci-dessus de la variance de rendement d'un portefeuille montre clairement que même dans le cas où les rendements des différents actifs détenus dans le portefeuille sont totalement non corrélés, la variance de ce dernier peut encore être réduite en ajoutant plus d'actifs.

Pour comprendre ceci, nous noterons que pour n actifs non corrélés, la variance se réduit à (puisque la covariance est alors nulle):

equation   (215)

En simplifiant davantage, si toutes les variances sont supposées égales et si tous les actifs sont détenus dans les mêmes proportions (1/n), nous avons (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (216)

Ainsi, quand n tend vers l'infini, la variance du portefeuille s'approche de zéro. Ainsi, si des risques non corrélés sont réunis en portefeuille, le risque total peut être éliminé par diversification. Dans le cas où les risques sont corrélés, la diversification ne permettra d'éliminer que les risques spécifiques aux actifs alors que le risque de marché continuera d'exister. Notons que la réduction du risque serait plus importante lorsque les différents actifs détenus sont négativement corrélés. En effet, plus le coefficient de corrélation entre les rendements des titres est petit, plus les bénéfices inhérents à la diversification sont substantiels. Dans le cas ou le coefficient de corrélation est égal à 1, il n'y a aucun bénéfice lié à la diversification, puisque le risque du portefeuille sera égal à la moyenne pondérée des risques le composant. Par contre la diversification est à son maximum lorsque le coefficient de corrélation est égal à -1. Dans cette situation il est possible de combiner deux actifs risqués pour former un portefeuille sans risque.

D'après ce qui précède, il est clair que tout investisseur désirant former un portefeuille cherchera à détenir un ensemble d'actifs risqués qui lui permettra de recevoir un rendement donné avec un minimum de risque. En d'autres termes, il cherchera à minimiser la variance pour un niveau de rendement espéré tout en respectant une contrainte budgétaire. Nous savons que le rendement espéré et la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs risqués s'écrivent comme suit :

equation   (217)

Par ailleurs, nous savons qu'à partir de ces n titres, il possible de construire une infinité de portefeuille en faisant varier les pondérations Xi. Or, les portefeuilles les plus intéressants pour un investisseur donné sont ceux qui permettent de minimiser le risque qu'il doit supporter pour obtenir un niveau de rendement donné. Ces portefeuilles sont le résultat du problème de minimisation suivant qui est un problème d'optimisation non linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) :

equation   (218)

que nous avions déjà vu lors de notre étude du modèle de Markowitz.

Il est donc possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant varier les proportions investies dans chacun des titres. La prochaine étape consiste à sélectionner, parmi l'ensemble des portefeuilles disponibles, un portefeuille donné. Pour ce faire, on doit considérer les préférences individuelles de l'investisseur.

Un investisseur rationnel ne devrait donc considérer que les portefeuilles se trouvant sur la frontière efficiente pour ses choix d'investissement. Son portefeuille optimal se situera donc au point de tangence entre la frontière efficiente et sa courbe d'indifférence la plus haute qu'il serait capable d'atteindre. En procédant ainsi, chaque investisseur maximisera son utilité espérée. En présence d'une économie ne contenant que des actifs risqués, la composition du portefeuille d'actifs risqués varie d'un individu à un autre.

En pratique, les investisseurs ont également la possibilité d'investir dans des actifs financiers sans risques. Nous allons donc chercher à déterminer la nouvelle frontière efficiente en tenant compte de cette nouvelle opportunité d'investissement.

Considérons alors un portefeuille qui est une combinaison de l'actif sans risque et d'un portefeuille de marché (à risque). Nous avons alors :

equation   (219)

equation est la fraction du portefeuille investie dans le portefeuille du marché (m) et equation est le "taux de rendement certain".

Rappel : L'espérance d'une constante est égale à cette constante (cf. chapitre de Statistiques).

Nous avons donc :

equation   (220)

et donc (en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques) :

equation   (221)

Soit :

equation   (222)

La dérivée du rendement espéré par rapport à equation nous donne :

equation   (223)

La dérivée de l'écart-type par rapport à equation nous donne :

equation   (224)

Mettant ces deux résultats ensemble, nous avons :

equation   (225)

Cette équation nous donne la pente de la "capital market line" (C.M.L.). Elle est constante (la pente!), et donc la C.M.L. est une droite. L'ordonnée à l'origine est évidemment equation.

Puisque :

equation   (226)

L'équation de la C.M.L. se réduit alors à :

equation   (227)

Et puisque dans la finance l'intérêt est de représenter graphiquement .

equation   (228)

Alors il est de tradition de noter la fonction sous la forme suivante :

equation

où nous retrouvons en facteur de l'écart-type de equation le coefficient appelé "Sharpe ratio" (ou ratio de Sharpe) dont nous avions parlé plus haut mais sans en démontrer la provenance.

Par construction, cette droite associe donc à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevé. Ainsi, étant donnée le rendement d'un actif sans risque il devient facile à partir de cette équation de déterminer le point de tangence avec la frontière d'efficience de Markowitz ou de Sharpe pour obtenir le portefeuille le plus efficient sur la base du rendement sans risque!!

Intéressons nous maintenant à déterminer une équation pour le rendement espéré de n'importe quel actif individuel.

Considérons un nouveau portefeuille de rendement equation qui est une combinaison d'un actif sans risque quelconque A et du portefeuille de marché, où equation est la fraction du portefeuille investie dans l'actif sans risque A.

Ce que nous souhaiterions évaluer est le pente de la courbe des combinaisons espérance/écart-type lorsque nous combinons le portefeuille de marché (qui contient déjà l'actif A) avec l'actif A.

Nous souhaitons évaluer la valeur de la pente de l'équation tangente à la frontière efficiente telle que la pondération de l'actif sans risque A soit nulle.

Nous avons :

equation   (229)

Nous obtenons de suite :

equation   (230)

et (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (231)

donc :

equation   (232)

Dérivant le rendement espéré de ce nouveau portefeuille par rapport à equation, nous obtenons :

equation   (233)

Dérivant l'écart-type du rendement de ce nouveau portefeuille par rapport à equation, nous obtenons :

equation   (234)

La contribution de Sharpe et Lintner a été de dire qu'il faut évaluer ces dérivées au point où equation c'est-à-dire où la pondération de l'actif A dans le nouveau portefeuille est nulle.

Ce faisant, nous obtenons, l'expression suivante pour l'écart-type du nouveau portefeuille (bien sûr, l'expression pour le rendement espéré ne change pas) :

equation   (235)

ce qui donne après simplification :

equation   (236)

Avec les deux dérivées, nous pouvons obtenir une expression pour la courbe de combinaisons de combinaisons espérance/écart-type pour le nouveau portefeuille. Nous avons alors :

equation   (237)

Cette pente doit être égale à celle de la C.M.L. En égalisant, nous obtenons :

equation   (238)

Quelques manipulations algébriques et nous y sommes! Nous avons :

equation   (239)

et donc :

equation   (240)

d'où :

equation   (241)

En posant ce que nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Sharpe, c'est-à-dire le risque non diversifiable sous forme de facteur bêta :

equation   (242)

c'est donc la volatilité de la rentabilité de l'actif considérée rapportée à celle du marché.

Nous avons alors :

equation   (243)

Cette expression permet donc d'exprimer le rendement excédentaire d'un actif comme le produit du rendement excédentaire du portefeuille de marché et le facteur bêta du titre.

Le rendement excédentaire d'un actif ne dépend pas directement que de sa variance, qui est souvent une mesure intuitive du risque d'un actif. Ce qui compte est sont facteur bêta, qui dépend de sa covariance avec le portefeuille de marché.

Plus classiquement, la dernière relation est utilisée graphiquement sous forme de droite :

equation   (244)

Cette droite est appelée la "security market line" (S.M.L.) elle est extrêmement importante en finance car elle donne donc le rendement moyen d'un titre A en fonction du bêta, du rendement du marché et du taux sans risque.

On la trouve aussi fréquemment sous la forme suivante :

equation   (245)

avec equation qui est appelé la "prime par unité de risque" (surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marchée plutôt que dans un actif sans risque) et l'ordonnée à l'origine est le taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'état).

Le MEDAF stipule donc que le taux de rendement espéré (ou que devrait exiger un investisseur rationnel averse au risque) d'un actif risqué doit être égal au taux de rendement de l'actif sans risque, plus une prime de risque. Dans ce cas, la relation entre le risque systématique et le rendement espéré demeure linéaire et seul le risque systématique doit être rémunéré par le marché puisque le risque spécifique peut être éliminé grâce à la diversification.

Il est peut-être intéressant d'expliciter les hypothèses sur lesquelles reposent mathématiquement  les développements que nous avons fait. Ce sont donc les hypothèses du MEDAF dont un certain nombre d'hypothèses dont certaines semblent difficilement acceptables. Il ne faut pas cependant oublier que la validité d'un modèle ne dépend pas du réalisme de ses hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité.

Nous avons donc émis les hypothèses suivantes :

H1. Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers

H2. Les investisseurs sont averses au risque: ils n'aiment pas le risque

H3.  Il n'y a pas de coût de transaction et les actifs sont parfaitement divisibles

H4. Ni les dividendes, ni les gains en capitaux ne sont taxés

H5. De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne peut avoir d'influence sur les prix.

H6. Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux sans risque.

H7. Les anticipations des différents investisseurs sont homogènes

H8. La période d'investissement est la même pour tous les investisseurs


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