EMPRUNTS
1. Concepts
1.1. Micro-économie
1.1.1. Coût moyen et marginal
1.2. Macro-économie
2. Modèle monétaire
3. Théorie de l'offre et de la demande
3.1. Théorie de la préférence
3.2. Modèle contrarié à perte nette
4. Capitalisation et actuariat
4.1. Intervalle de dates
4.2. Equivalence de taux
4.3. Intérêt simples
4.3.1. Escomptes
4.4. Intérêt composé
4.5. Intérêt continu
4.6. Intérêt progressif (rentes)
4.6.1. Rentes postnumerando
4.6.2. Rentes praenumerando
4.7. Arrondis
5.1. Emprunt à échéance fixe
5.2. Emprunt à amortissement constant
5.3. Emprunt à annuité constant
6. Théorie moderne des portefeuilles
6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)
6.2. Portefeuilles
6.2.1. Actions
6.2.2. Obligations
6.2.3. Options
6.2.4. Bons de souscriptions
6.2.5. Fonds de placements
6.3. Retours et taux d'investisssements
6.3.1. Return on investment
6.3.2. Goodwill
6.3.3. Money weighted rate of return
6.3.4. Time weighted rate of return
6.4. Modèle spéculatif de Bachelier
6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz
6.5.1. Frontière efficiente
6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe
6.6.1. Coefficient bêta
6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)
6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)
6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)
6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes
6.8.1. Equation de parité Call-Put
6.8.2. Hypothèse efficiente du marché
6.8.3. Processus de Wiener
6.8.4. Mouvement Brownien
6.8.5. Processus d'Ito
6.8.6. Equation de Black & Scholes
6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué
6.8.8. Les grecs et autres...
6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes
6.9.1. VaR relative
6.9.2. VaR absolue
6.9.3. VaR historique
6.9.4. VaR variance-covariance
7. Analyse des séries temporelles
7.1. Coefficient d'autocorrélation
7.2. Régression logistique
Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier. Nous allons ici définir les principaux type d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les relations qui les caractérisent.
Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt comportant qu'une seul prêteur, en général, un établissement financier.
Les principaux points concernant les emprunts sont :
- Connaître l'état de la dette à tout moment
- Connaître le montant à rembourser à chaque période
- Connaître l'intérêt dû à chaque période
Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre des emprunt. Une annuité comprend une part de remboursement R appelée aussi "amortissement financier" et une part d'intérêt I selon la relation :
La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts est une notion importante non seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge financière.
Nous allons étudier ici trois types d'emprunts :
1. Les emprunts remboursables à échéance fixe
2. Les emprunts à remboursement constant
3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)
R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.
R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".
EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE
Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" lorsque chaque année, l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.
Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau d'amortissement".
Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est :
(169)
Le remboursement (amortissement)
effectué en fin d'année k est égal à
l'amortissement cumulé 
en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à
la dernière année n tel que :
(170)
l'intérêt payé
sera constant tout au long de l'époque de remboursement selon
un taux 
sur le capital d'emprunt 
tel que :
(171)
L'annuité devient alors :
(172)
Exemple:
Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera :
| Période |
Etat de la dette |
Amort. |
Amort. Cumulé |
Intérêt |
Annuité |
| k |
|
|
|
|
|
| 1 |
1'000 |
0 |
0 |
100 |
100 |
| 2 |
1'000 |
0 |
0 |
100 |
100 |
| 3 |
1'000 |
0 |
0 |
100 |
100 |
| 4 |
1'000 |
1'000 |
1'000 |
100 |
1'100 |
Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.
EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT
Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'années en années (système intuitif).
Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :
(173)
Exemple:
Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :
| Période |
Etat de la dette |
Amort. |
Amort. Cumulé |
Intérêt |
Annuité |
| k |
|
|
|
|
|
| 1 |
1'000 |
250 |
250 |
100 |
350 |
| 2 |
750 |
250 |
500 |
75 |
325 |
| 3 |
500 |
250 |
750 |
50 |
300 |
| 4 |
250 |
250 |
1'000 |
25 |
275 |
Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-. Donc on paie mois qu'avec le système précédent.
EMPRUNTS A ANNUITÉ CONSTANTE
C'est la cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à payer d'années en années. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A : ce qui consiste à déterminer la valeur actuelle d'un rente postnumerando tel que :
(174)
Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :
(175)
et puisque ,
alors :
(176)
dès lors, lorsque
,
nous avons conformément à ce que nous attendons 
.
Et donc l'amortissement est de :
(177)
L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition :
(178)
avec k=2 et n=3 :
(179)
d'où :
(180)
Ainsi, nous avons :
(181)
et aussi :
(182)
Exemple:
Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :
| Période |
Etat de la dette |
Amort. |
Amort. Cumulé |
Intérêt |
Annuité |
| k |
|
|
|
|
|
| 1 |
1'000 |
215 |
215 |
100 |
315 |
| 2 |
785 |
237 |
452 |
78 |
315 |
| 3 |
548 |
261 |
713 |
55 |
315 |
| 4 |
287 |
287 |
1'000 |
29 |
315 |
Le coût du crédit
représente la somme des intérêts soit 262.-.
Ce résultat pourrait s'obtenir par : 
.
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