EMPRUNTS



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier. Nous allons ici définir les principaux type d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les relations qui les caractérisent.

Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt comportant qu'une seul prêteur, en général, un établissement financier.

Les principaux points concernant les emprunts sont :

- Connaître l'état de la dette à tout moment

- Connaître le montant à rembourser à chaque période

- Connaître l'intérêt dû à chaque période

Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre des emprunt. Une annuité comprend une part de remboursement R appelée aussi "amortissement financier" et une part d'intérêt I selon la relation :

equation

La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts est une notion importante non seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge financière.

Nous allons étudier ici trois types d'emprunts :

1. Les emprunts remboursables à échéance fixe

2. Les emprunts à remboursement constant

3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)

Remarques:

R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.

R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".

EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" lorsque chaque année, l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.

Remarque: Ce modèle d'amortissement est particulièrement utilisé dans les emprunts obligatoires, étudiés plus loin.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau d'amortissement".

Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est :

equation   (169)

Le remboursement (amortissement) equation effectué en fin d'année k est égal à l'amortissement cumulé equation en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à la dernière année n tel que :

equation   (170)

l'intérêt payé equation sera constant tout au long de l'époque de remboursement selon un taux equation sur le capital d'emprunt equation tel que :

equation   (171)

L'annuité devient alors :

equation   (172)

exempleExemple:

Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période

Etat de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

0

0

100

100

2

1'000

0

0

100

100

3

1'000

0

0

100

100

4

1'000

1'000

1'000

100

1'100

Tableau: 5  - Emprunt avec amortissement à échéance fixe

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.

EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'années en années (système intuitif).

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

equation   (173)

exempleExemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période

Etat de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

250

250

100

350

2

750

250

500

75

325

3

500

250

750

50

300

4

250

250

1'000

25

275

Tableau: 6  - Emprunt avec amortissement constant

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-. Donc on paie mois qu'avec le système précédent.

EMPRUNTS A ANNUITÉ CONSTANTE

C'est la cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à payer d'années en années. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A : ce qui consiste à déterminer la valeur actuelle d'un rente postnumerando tel que :

equation   (174)

Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

equation   (175)

et puisque equation, alors :

equation   (176)

dès lors, lorsque equation, nous avons conformément à ce que nous attendons equation.

Et donc l'amortissement est de :

equation   (177)

L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition :

equation   (178)

avec k=2 et n=3 :

equation   (179)

d'où :

equation
  (180)

Ainsi, nous avons :

equation   (181)

et aussi :

equation   (182)

exempleExemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période

Etat de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

215

215

100

315

2

785

237

452

78

315

3

548

261

713

55

315

4

287

287

1'000

29

315

Tableau: 7  - Emprunt avec annuité constante

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 262.-. Ce résultat pourrait s'obtenir par : equation.


page suivante : 6. Théorie moderne des portefeuilles