Capitalisation et actuariat



COURS D'ÉCONOMIE

1. Concepts

1.1. Micro-économie

1.1.1. Coût moyen et marginal

1.2. Macro-économie

2. Modèle monétaire

3. Théorie de l'offre et de la demande

3.1. Théorie de la préférence

3.2. Modèle contrarié à perte nette

4. Capitalisation et actuariat

4.1. Intervalle de dates

4.2. Equivalence de taux

4.3. Intérêt simples

4.3.1. Escomptes

4.4. Intérêt composé

4.5. Intérêt continu

4.6. Intérêt progressif (rentes)

4.6.1. Rentes postnumerando

4.6.2. Rentes praenumerando

4.7. Arrondis

5. Emprunts

5.1. Emprunt à échéance fixe

5.2. Emprunt à amortissement constant

5.3. Emprunt à annuité constant

6. Théorie moderne des portefeuilles

6.1. Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A)

6.2. Portefeuilles

6.2.1. Actions

6.2.2. Obligations

6.2.3. Options

6.2.4. Bons de souscriptions

6.2.5. Fonds de placements

6.3. Retours et taux d'investisssements

6.3.1. Return on investment

6.3.2. Goodwill

6.3.3. Money weighted rate of return

6.3.4. Time weighted rate of return

6.4. Modèle spéculatif de Bachelier

6.5. Modèle de diversification efficiente de Markovitz

6.5.1. Frontière efficiente

6.6. Modèle de diversification efficiente de Sharpe

6.6.1. Coefficient bêta

6.7. Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

6.7.1. Capital Market Line (C.M.L.)

6.7.2. Security Market Line (S.M.L.)

6.8. Modèle d'évaluation des options de Black & Scholes

6.8.1. Equation de parité Call-Put

6.8.2. Hypothèse efficiente du marché

6.8.3. Processus de Wiener

6.8.4. Mouvement Brownien

6.8.5. Processus d'Ito

6.8.6. Equation de Black & Scholes

6.8.7. Portefeuille autofinancant sur sous-jacent risqué

6.8.8. Les grecs et autres...

6.8.9. Résolution de l'E.D.P. de Black & Scholes

6.9. Value At Risk

6.9.1. VaR relative

6.9.2. VaR absolue

6.9.3. VaR historique

6.9.4. VaR variance-covariance

7. Analyse des séries temporelles

7.1. Coefficient d'autocorrélation

7.2. Régression logistique

Définition: La "capitalisation" est le domaines de la mathématique financière qui permet de calculer des valeurs futures à partir de valeurs présentes, alors que le "calcul actuariel" permet de déterminer quelle somme doit être prêtée pour obtenir un montant fixé à l'avance.

Dans un dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en contrepartie de quoi ils percoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital intial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunter). D'une autre manière, vue au niveau du marché économique, les emprunts permettent à certains agents économiques de mettre en place des biens en pariant sur le fait que soit ceux-ci créeront l'offre soit que l'offre viendra d'elle-même mais en souhaitant devancer la concurrence.

Lorsque un capital est prêté (ou emprunté, c'est selon le point de vue...) dans le but d'accroître une dynamique de marché (la quantité de circulation de biens sur une durée donnée) nous parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activitié de l'économie.

Définitions:

D1. Nous appelons "rendement d'un actif financier prêté" le rapport de progression donné par:

equation   (100)

D2. Nous appelons "rendement arithmétique d'un investissement" la relation:

equation

equation est la valeur initiale de l'investissement et equation sa valeur finale.

Il suit de cette dernière définition que si un investissement a rapporté 5% la première année et a porté une perte nette de 2% la deuxième année. Le "RSI (Retour Sur Investissement) arithmétique moyen" est alors de:

equation

Or il est faux d'utiliser la moyenne arithmétique pour ce type de situations car la somme finale obtenue après les deux années est mathématiquement de:

equation

ce qui donne alors en reprenant l'exemple précédent:

equation

Donc le rendement moyen réel est par définition le "RSI géométrique" tel que:

equation

c'est-à-dire qu'il s'agit simplement d'une moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques). Il vient alors:

equation

ce qui est bien évidemment nettement différent du RSI arithmétique moyen obtenu plus haut!

Remarque: Nous disons d'un actif qu'il a un "rendement sans risques" si la valeur future de celui-ci est parfaitement connue.

Soit un actif equation qui peut valoir le rendement (optimiste) futur equation avec une probabilitéequation et la valeur (pessimiste) equation avec une probabilité equation ou d'autres valeurs equation avec la probabilité equation alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

equation   (101)

Que la somme monétaire soit du type actif où non, les types de rendements applicables sont identiques et variés. Il en existe cependant de grands classique qui ne sont pas stochastiques et connus. Pour leur étude, définissons certaines variables :

- equation représente le capital initial ou plus techniquement la "valeur actuelle" (V.A.) ou "present value" (P.V.) en anglais

- equation représente le capital final ou "valeur capitalisée" (V.C.) ou "futur value" (F.V.) en anglais après n périodes temporelles.

- equation représente le taux appelé plus techniquement "taux effectif"

- equation représente "l'intérêt" produit au bout n de périodes (horizon) sur la valeur actuelle

Rajoutons encore comme complément la relation :

equation   (102)

appelée "facteur de capitalisation".

Définition: Nous définissons "l'intérêt" comme la rémunération d'un capital (somme d'argent) prêté ou investi pendant un certain temps. L'intérêt peut être payé en une fois ou périodiquement si la durée du prêt ou de l'investissement dure longtemps. L'intérêt peut être payable d'avance (praenumerando) ou à la fin de la période (postnumérando). L'intérêt est fonction de la durée du prêt (ou investissement), du capital emprunté (ou prêté) ainsi que du "taux" d'intérêt pratiqué. La période sur laquelle l'intérêt porte est en général l'année, mais elle peut être plus courte : semestre, trimestre mois ou jour.

Remarque: Dans un texte, l'intérêt est exprimé normalement en % mais dans les calculs financiers, il d'usage de calculer sous forme décimale.

INTERVALLE DE DATES

Pour déterminer le montant d'un intérêt sur un prêt (ou investissement...), il est d'abord indispensable de connaître la durée de ce dernier ou les dates définissant les périodes de paiement d'une obligation (échéancier).

Le calcul de dates et de durées et donc la première étape en mathématiques actuarielles. Si certains logiciels utilisent dans le calcul de la durée l'année civile (365 jours selon calendrier Grégorien), d'autres se basent sur l'année commerciale (360 jours), ce qui était le cas de la plupart des établissements bancaires (c'est tout à leur avantage financièrement parlant de faire le choix de ce dernier...) avant l'arrivée du calendrier target pour la zone Euro.

Remarques:

R1. Sur les marchés financiers, il existe une seule convention d'intervalle de date pour calculer une durée : le premier jour (date de départ) est inclus dans la période. Le dernier jour (date de fin ou date d'échéance) est exclus de la période. Ainsi une période allant du 15 au 25 juin comporte 10 jours.

R2. Dans le cadre de ce site, qui se veut avoir une approche la plus rigoureuse possible de sujets traités, nous ne nous attarderons pas sur les aberrantes méthodes 30/360 allemande, européenne ou encore américaine (autant faire chaque pays de la planète alors... et se reporter à MS Excel...) pour nous concentrer sur la méthode des 365 jours qui est, et reste, le système le plus naturel de comptage à utiliser puisqu'il tient compte des mois à 28, 29, 30 ou 31 jours.

R3. Signalons qu'en ce qui concerne les carnets d'épargne, les banques se basent sur un système de "quinzaines" (moitié d'un mois), et estiment qu'il y a donc 24 quinzaines par année.

Il nous faut dès lors dans le système de la base exacte connaître comment calculer le nombre de jours entre deux dates equation donné par le calcul equation à partir la forme normalisée j.m.a (jour.mois.année).

Définitions:

D1. Le calendrier Grégorien a été défini tel qu'il ait 12 mois.

D2. Les mois de :

equation   (103)

sont des mois à 31 jours et les mois de :

equation   (104)

à 30 jours.

D3. Le mois de février est un cas particulier permettant de corriger le fait que l'année civile de 365 jours, ne corresponde pas tout à fait à la période orbitale de la Terre autour du Soleil qui est d'environ 365.25... jours. Ainsi, toutes les années qui sont multiples de 4 ou de 400 sont des années bissextiles (le mois de février à 29 jours au lieu de 28) mais les années qui sont divisibles par 100 ne sont pas bissextiles.

exempleExemples:

E1. 1992,1996,2004,2008 sont bissextiles.

E2. Les années 1900,2100,2200,2300 ne sont par contre pas bissextiles (car divisibles par 100)

E3. Les années 1600, 2000, 2400,2800 sont bissextiles car bien que divisibles par 100, elles sont multiples de 400.

Ces définitions et exemples étant donnés, soit une date sous la forme normalisée donnée précédemment. Le nombre de jours depuis l'an 0 est :

equation   (105)

E[x] est la partie entière de x. Cette relation se déduit logiquement de la manière suivante pour les dates où equation :

1. Nous avons 365(a-1) car soit a donné, le nombre de jours civils depuis l'an 1 est 365a soustrait d'une unité puisque l'année en cours n'est pas terminée.

2. Même remarque pour les mois avec 31(m-1)

3. Logiquement, nous ajoutons j (qui contient toute l'information quant à savoir si l'année a) est bissextile ou non) à la somme des deux termes précédents

4. Les termes equation donnent quant à eux le nombre de 29 février entre l'année 1 et a en prenant en compote les années bissextiles qui ont lieu tous les multiple de 4 et 400 ans exceptés les années qui sont multiples de 100.

Si equation, nous devons utiliser la relation suivante :

 

equation   (106)

Cette relation se déduit toujours de la même manière que la précédent à la différence que certains termes au nominateur ne sont pas soustrait d'une unité car ayant m>2, il faut prendre en compte l'année en cours dans le calcul.

Le dernier terme E(0.42M+2) est ici pour corriger le fait que tous les mois n'ont pas 31 jours. Pour l'obtenir, nous construisons le tableau suivant (la troisième colonne donne le décalage en jours par rapport au cas où les mois auraient tous 31 jours) :

Mois

N° Mois n

Décalage d

mars

3

3

avril

4

4

mai

5

4

juin

6

5

juillet

7

5

aout

8

5

septembre

9

6

octobre

10

6

novembre

11

7

décembre

12

7

Tableau: 3  - Décalage mensuel en jours

Une régression linéaire simple donne :

equation   (107)

En prenant la valeur entière et en vérifiant bien que la fonction choisie est correcte nous obtenons finalement bien (en prenant un précision de deux décimales) :

E(0.42M+2)

Mois

N° Mois n

Décalage d

d(n)

E(d(n))

mars

3

3

3.26

3

avril

4

4

3.68

4

mai

5

4

4.1

4

juin

6

5

4.52

5

juillet

7

5

4.94

5

aout

8

5

5.36

5

septembre

9

6

5.78

6

octobre

10

6

6.2

6

novembre

11

7

6.62

7

décembre

12

7

7.04

7

Tableau: 4  - Évolution population mondiale (Wikipedia)

ÉQUIVALENCES DE TAUX

Intéressons nous maintenant brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux calculs des différentes et nombreux types d'intérêts.

Définition: Le"taux proportionnel" ou " fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt simple" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc donné par la relation :

equation   (108)

Si le taux proportionnel est calculé sur la base d'une année, nous parlons alors de "taux de rendement annualisé", s'il est calculé sur la base d'un mois, nous parlons alors de "taux de rendement mensualisé".

exempleExemple:

Calculer le taux mensuel equation proportionnel (soit: le taux de rendement mensualisé) à un taux annuel t% de 12%:

equation   (109)

Définition: Le "taux équivalent" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt composé" (voir la définition de l'intérêt composé plus bas) et est donc donné par la relation :

equation   (110)

et inversement:

equation   (111)

exempleExemple:

Taux t% mensuel équivalent à un taux equation annuel de 12% :

equation   (112)

la procédure inverse consisterait donc à calculer le taux annualisé et nous voyons alors qu'un taux mensuel de 1% annualisé vaudrait plus que 12%.

INTÉRÊT SIMPLE

Définition: "L'intérêt simple" est défini par la relation (voir plus haut pour la définition des notations) :

equation   (113)

qui implique une capitalisation (valeur finale) :

equation   (114)

Il s'agit simplement de l'intérêt qui est calculé à chaque période seulement sur la base du capital prêté ou emprunté à l'origine.

Remarques:

R1. Il est très facile à partir la connaissance de trois des quatre paramètres de la relation précédente de retrouver la quatrième. S'agissant d'un simple équation du premier degré, nous ne nous attarderons pas sur ce genre d'exercice de style d'agèbre élémentaire.

R2. Une particularité de l'intérêt simple est d'être proportionnel à la durée du placement. Si l'intérêt par exemple sur une année est de 12%, le "taux équivalent" à un placement identique pendant 12 mois sera de 1% par mois. Cette propriété n'est pas vraie pour l'intérêt composé que nous verrons de suite après.

R3. Pour les carnets d'épargne nous avons déjà fait mention que les instituts financiers utilisent la quinzaine comme période temporelle (soit 24 périodes dans l'année composée de mois de 30 jours). Donc pour calculer l'intérêt annuel, lors de chaque quinzaine, ils prennent le solde le plus faible sur le compte lors de la quinzaine et calculent l'intérêt simple sur un taux rapporté à 24 semaines par année et reporteront le résultat obtenu lors de la clôture annuelle du compte à la fin de l'année (ils sont pas fous...)

Par ailleurs, si plusieurs placements à intérêt simple sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placements.

Si nous notons equation le placement numéro t, equation le taux d'intérêt du placement numéro t, equation la durée du placement numéro t et k le nombre de placement, nous avons la moyenne arithmétique pondérée (cf. chapitre de Statistiques) :

equation   (115)

ESCOMPTE

Toujours relativement à l'intérêt simple, nous pouvons revenir sur une notion dont nous avions parlé au début de ce chapitre qu'est l'escompte.

Rappelons que l'escompte est une déduction accordée à un acheteur par un vendeur dans le but de l'inciter à payer rapidement avant n unités (périodes) de temps (c'est donc l'intervalle qui importe!). Un acheteur devrait en principe profiter de cet escompte. Dans le cas contraire, c'est comme s'il empruntait implicitement pendant une durée donnée à un intérêt bien plus élevé.

Voyons cela :

Notonsequation la valeur actuelle escompte compris, equation le montant sans escompte appelé "valeur nominale", n la durée rapportée à l'échelle de temps du taux d'escompte, t% le taux d'escompte et i l'intérêt implicite en cas de renonciation à l'escompte.

Nous avons maintenant les relations suivantes triviales :

equation   (116)

avec :

equation   (117)

étant l'intérêt simple sur la valeur actuelle, nous avons alors trivialement :

equation   (118)

Dès lors, il vient par substitution :

equation   (119)

Nous remarquons alors qu'il suffit de connaître seulement le taux d'escompte accordé t% (souvent donné en annuel...) ainsi que la durée de renonciation n pour déterminer le taux équivalent du crédit accordé.

exempleExemple:

Calculons le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours :

equation   (120)

Ainsi, cette escompte si elle n'est pas prise en considération, peut-être vue comme un crédit à 18% par jour pendant 20 jours sur la somme avec escompte !

Cette métode de calcul est appelée "escompte commerciale" car elle les calculs se font sur la base de la valeur nominale et non de la valeur actuelle.

INTÉRÊT composÉ

Définition: "L'intérêt composé" est donnée par la relation:  

equation   (121)

et implique:

equation   (122)

Nous disons doncque le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période.

Nous avons par ailleurs les relations triviales (cf. section d'Algèbre):

equation   (123)

Remarque: Les relations équivalentes dans MS Excel pour trouver equation sont respectivement (fonctions en français) VC(), VA(), NPM(), Taux() l'abréviation NPM signifiant "nombre payements mensuels".

Si le taux n'est pas constant dans le temps alors l'intérêt composé s'écrit:

equation   (124)

ce qui s'écrit également:

equation  (125)

avec equation et inversement:

equation   (126)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (avenir certain), nous pouvons sans inconvénient majeur remplacer la séquence des equation par leur moyenne géométrique:

equation   (127)

Cette relation est très importante car nous la retrouverons dans les calculs des prises de risques (Goodwil ou VAN).

Dans le cadre des intérêt cumulés (composés), deux notions importantes sont donc la "valeur actuelle" et la "valeur finale" acquise d'un capital.

En répondant à la question : "Quel capital obtenons-nous au bout d'un certain temps en plaçant aujourd'hui une somme X sur un carnet d'épargne?", nous faisons une recherche de valeur finale ou acquise d'un capital. Nous parlons alors "d'opération de capitalisation".

Par contre, si nous nous demandons : "Quel capital devons-nous placer aujourd'hui sur un carnet d'épargne pour obtenir au bout d'un certain temps un capital X ?", nous faisons une recherche de valeur actuelle d'un capital. Nous parlons alors "d'opération d'escompte" (c'est le propre du "calcul actuariel").

Définition: Nous appelons equation le "facteur de capitalisation" et equation le "facteur d'escompte" définis par les relations :

equation   (128)

ce qui nous amène par ailleurs à avoir equation.

Le relation de capitalisation composée peut alors se récrire :

equation   (129)

De même, le capital initial equation peut être exprimé avec le facteur d'escompte :

equation   (130)

Cela rend alors très simple le calcul d'actualisation ou de capitalisation puisqu'il s'agit de multiplier le capital ou initial par le facteur d'escompte ou de capitalisation élevé à la puissance n.

Rappelons maintenant la relation que nous avons obtenue lors de notre présentation initiale des taux équivalents :

equation   (131)

Souvent afin de se simplifier le calcul, la personne qui cherche le taux équivalent va se rapporter à poser (normaliser) equation. Ce qui nous amène à écrire :

equation et equation   (132)

vient alors une petite astuce du financier qui fait intervenir dans ses démarches de ventes le concept de "taux effectif" (déjà vu!) et "taux nominal". Ces taux permettent à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement (ce qui est interdit par la loi dans certains pays!). Donc le taux nominal est toujours inférieur au taux effectif.

exempleExemple:

Imaginons que les conditions d'un prêt soient les suivantes : intérêt annuel de equation (taux nominal) payable par tranches mensuelle de equation. Un individu attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de :

equation....   (133)

qui est le taux effectif t% ! Pas forcément gagnant donc...

Maintenant, si plusieurs placements sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amené à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placementx.

Si nous notons equation le placement numéro t, equation le facteur de capitalisation du placement numéro t, equation la durée du placement numéro t, k le nombre de placements et finalement T le taux moyen de l'ensemble des placement nous pouvons à l'aide du calcul formel jusqu'au quatrième degré (voir chapitre de calcul algébrique) ou au-delà avec l'analyse numérique (prendre le solveur de MS Excel par exemple), résoudre l'équation :

equation   (134)

Si nous faisons un changement de variables equation nous avons alors résoudre l'équation de equation inconnues en x (tous les autres termes étant normalement connus dans l'énoncé du problème) :

equation   (135)

INTÉRÊT CONTINU

Rappelons que l'intérêt composé est défini en utilisant le taux effectif :

equation   (136)

Avec le taux nominal nous écrivons alors :

equation   (137)

Nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il adviendrait du taux effectif t% si l'intérêt était versé non pas mensuellement, ni quotidiennement, mais en continu, d'une manière instantanée (ou quasi-instantanée). Nous écrivons alors (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

equation   (138)

Ainsi, en cas de capitalisation continue, la fonction de capitalisation s'écrit finalement :

equation   (139)

INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES)

Définition: Une "rente" ou "annuité" est une suite de paiements versés périodiquement à intervalles de temps régulières et durant une période fixée d'avance à intérêt composé (typique des deuxième ou troisième piliers en Suisse).

Il suffit alors d'appliquer la relation (voir plus haut la démonstration)equation à chaque terme de rente versé si nous souhaitons connaître la valeur actuelle de cette rente.

Par contre, si nous souhaitons obtenir la valeur finale d'une rente, nous appliquerons à chaque terme la relation (voir plus haut la démonstration)equation.

Définition: Si la rente est payable en fin de période, elle est dite "rente postnumerando". Par contre, si elle est payable en début de période, elle est dite "rente praenumerando", ce qui est la cas du dernier exemple.

Remarques:

R1. Les rentes qui sont toujours payées sont appelées "rentes certaines" et lorsque la durée est fixée d'avance, nous parlons de "rentes temporaires".

R2. Les rentes versées sur la base de la durée de vie d'un individu sont appelées "rentes viagères".

Puisque les termes sont souvent supposés constants, nous avons pour habitude de bases les calculs sur la valeur d'une unité monétaire. Ainsi, nous notons (les notations adoptées sont celles que nous trouvons dans la littérature car bien que peu pratiques, elles sont originales et jolies à regarder...) :

- equation la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando (à terme échu) pour une durée de n périodes

- equation la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable praenumerando (d'avance) pour une durée de n périodes

- equation la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

- equation la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

Les relations utilisées utilisent les propriétés des séries géométriques et de leur somme partielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

RENTES POSTNUMERANDO

A terme constant, pour calculer la valeur finale d'un rente à échéance/postnumerando, nous pouvons donc travailler uniquement sur le facteur d'escompte en multipliant au final par le montant de la rente.

exempleExemple:

Nous souhaitons calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 périodes et calculée au taux d'intérêt périodique de 6%.

Les versements ont lieu aux dates 1, 2,.. et 10. Le versement equation de la date 1 a pour valeur acquise à la date 10 : equation. De même, le versement de la date 2 rapporte des intérêts pendant 8 ans. Sa valeur acquise date 10 est donc: equation etc. Finalement le versement de la date 10 (que nous venons de déposer à la banque) a pour valeur equation. La valeur acquise des 10 versements est donc, en posant equation (nous démontrerons les simplification juste après) :

equation   (140)

Donc la rente postnumerando est un versement à termes constants et à taux constant durant un nombre de périodes données amenant à une suite géométrique simple.

Rappelons donc que equation. Sous la forme de rente postnumerando à termes constants nous avons alors sous forme général:

equation   (141)

Ce qui s'écrit :

equation   (142)

donc :

equation   (143)

Or, nous avons donc une suite géométrique de raison q (cf. chapitre de Suites Et Séries). Dès lors :

equation   (144)

et donc :

equation   (145)

Finalement :

equation   (146)

Nous avons donc pour notre exemple dix périodes (dix termes donc avec equation) :

equation   (147)

Ce capital correspond donc à la somme acquise au bout de dix périodes.

La méthode de calcul de la valeur actuelle d'un rente à échéance/postnumeran fonctionne sur le même principe mais à l'envers selon la relation démontrée plus hautequation. Donc si les termes (montants versés) sont constant nous pouvons écrire :

equation   (148)

donc :

equation   (149)

Or :

equation   (150)

alors :

equation   (151)

finalement :

equation   (152)

Remarque: La valeur equation correspondant donc au montant qu'il faudrait placer sur un carnet d'épargne à t% afin de pouvoir y faire un retrait périodique equation constant durant les n périodes et ainsi solder le compte.

Nous avons également les relations entre les rentes postnumerando actuelle et finale :

equation   (153)

Nous avons également les opération en chaîne suivantes :

equation   (154)

Remarque: Il est clair étant donné equation connus que equation et ainsi de suite pour les autres types de rentes.

RENTES PRAENUMERANDO

La méthode de calcul de la " valeur actuelle d'un rente à avance/praenumerando" fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relationequation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

equation   (155)

donc :

equation   (156)

Or :

equation   (157)

alors :

equation   (158)

finalement :

equation   (159)

Remarque: Pour le même nombre de période et le même taux , nous avons equation car equation.

La méthode de calcul de la valeur finale d'un rente à avance/praenumerando fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relationequation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

equation   (160)

donc :

equation   (161)

Or :

equation   (162)

alors :

equation   (163)

finalement en notant equation nous avons:

equation   (164)

Remarques:

R1. Avec la même notation nous avons par ailleurs la valeur actuelle de la rente praenumerando qui s'écrit equation

R2. Pour le même nombre de période et le même taux , nous avons equation car equation.

ARRONDIS

Pour arrondir un nombre x au multiple de 1/n le plus proche la relation à utiliser est la suivante :

equation   (165)

La démonstration est intuitive. Il suffit de s'imaginer l'axe des réels et de couper celui-ci en 1/n petits intervalles. Soit alors un nombre x donné, le nombre de ces intervalles dans x sera donné par :

equation   (166)

Enfin pour savoir quel est le nombre strictement inférieur au multiple recherché, nous prenons la valeur entière de la dernière relation et la multiplions par 1/n tel que :

equation   (167)

Si cependant, nous souhaitons avoir le nombre arrondi au multiple le plus proche, nous voyons alors qu'il faut rajouter 0.5 tel que :

equation   (168)


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