MODÈLES DE POPULATIONS



DYNAMIQUE DES POPULATIONS

1. Tables de mortalité et natalité (fonctions biométriques)

1.1. Renouvellement de la population

2. Modèles des populations

2.1. Modèle exponentiel

2.2. Modèle logistique déterministe (Verlhust)

2.3. Modèle logistique chaotique

2.3.1. Diagramme de Feigenbaum

2.4. Loi de Malthus

2.5. Modèle de Leslie

3. Propagation des épidémies

4. Modèle proies-prédateurs (de Lotka-Volterra)

5. Modèle de Hardy-Weinberg

6. Taux de croissance avec la température

Il existe de nombreux modèles mathématiques permettant d'étudier la croissance d'une population. Le terme "population" est utilisé ici au sens le plus large - il peut s'agir d'une population d'humains, d'animaux, de plantes, de personnes infectées par un virus etc.

Pour construire un modèle mathématique, il est nécessaire de faire des hypothèses. Ces hypothèses jouent deux rôles : préserver certaines caractéristiques essentielles de la réalité et simplifier suffisamment cette réalité afin qu'elle puisse être étudiée par la mathématique.

MODÈLE EXPONENTIEL

Dans ce modèle de dynamique des populations (un des plus simples), l'hypothèse sera la suivante : le taux de variation de la population est proportionnel, en tout temps t, à la population P(t) présente au temps t.

Nous pouvons penser, à priori, que cette hypothèse est raisonnable pour une foule de situations. Par exemple plus la population humaine est grande et plus le taux de variation de cette population, exprimé en nombre de personnes qui s'ajoutent par unité de temps, sera grand. De même, plus il y a de personnes infectées par un virus et plus, dans les semaines qui viennent, il y aura de nouveaux cas de personnes infectées.

Mathématiquement, cette hypothèse peut se traduire à l'aide de l'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (14)

Cette équation différentielle est un modèle mathématique représentant une situation où le taux de croissance de la population est proportionnel à la grandeur de la population en tout temps . Dans ce cas, k est une constante appelée "taux d'accroissement" et nous verrons plus loin comment nous peuvons la déterminer. Dans certaines situations, la valeur de k est négative indiquant le fait que la population diminue avec le temps au lieu de croître. Il est évident qu'une solution à cette équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est :

equation   (15)

En premier lieu nous déterminerons la valeur de la constante k, à partir de données démographiques pour l'année 1965. À cette époque, il y avait 3 milliards de personnes sur la planète Terre. De plus, à cette époque, la population augmentait de 54 millions par année.

Ainsi, en 1965 :

equation   (16)

Ce qui nous donne :

equation   (17)

Soit 1.8%. L'équation différentielle est alors :

equation   (18)

Pour déterminer la constant multiplicative, il suffit de poser equation et de la choisir en conséquence (puisqu'elle correspond à la condition initiale). Ainsi, en 1965 nous avions :

equation   (19)

Si ce modèle mathématique est conforme à la réalité, la solution trouvée nous permettra d'estimer la population d'humains sur la terre pour des temps ultérieurs à 1965. Voici le graphique de la fonction :

equation
  (20)

Si nous évaluons P(37), cela nous fournira la prédiction pour la population en 2002. Nous trouvons 5.84 milliards ce qui est assez proche de la réalité.

Le lecteur pourra également facilement vérifier le tableau suivant selon les valeurs de k:

Taux d'accroissement par an k

Temps de doublement en années

0.5%

139

1%

69

1.5%

46

2%

35

2.5%

28

3%

23

3.5%

20

4%

17

Tableau: 6  - Taux d'accroissement de la population selon modèle exponentiel

Nous voyons alors immédiatement, que selon le modèle exponentiel, que une croissance qui peut paraître lente, de l'ordre de 3% par an, est en fait véritablement explosive puisqu'elle entraîne un doublement tous les 23 ans. Soit une multiplication par plus de 17 en un siècle. Or, un siècle est vite passé!

Cette simple constatation montre à quel point dans ce modèle sont mensongers les arguments qui nous font chercher la solution d'un problème économique ou social dans la croissance, et même, comme il est souvent admis, dans une croissance durable. Il est clair qu'aucune croissance ne peut véritablement durer, elle n'est qu'un épisode transitoire, nécessairement suivi d'un palier ou même d'une décroissance. Résoudre une difficulté par la croissance ou le maintient de celle-ci c'est reporter le problème à plus tard, à la période où il faudra trouver les moyens à la fois d'arrêter cette croissance et de résoudre autrement cette difficulté restée un temps camouflée.

Le modèle de croissance que nous avons présenté ne peut par contre être valable sur de très longues périodes de temps. En effet, si nous calculions, en utilisant l'équation précédente, la population dans 7 siècles le résultat serait que sur chaque mètre carré de la terre, excluant l'eau, il y aurait, en moyenne, dix humains! De même, une population de personnes infectées par un virus ne peut pas vraiment être décrite par un tel modèle.

Ces derniers résultats nous enseignent que si nous voulons élaborer une modélisation de la croissance d'une population, qui soit davantage conforme à la réalité, il va falloir modifier nos hypothèses initiales. Ce que nous allons de suite voir avec les modèle logistique déterministe.

Mais avant cela donnons un exemple symphatique où une explosion exponentielle a aussi lieu.:

Chaque individu sur Terre a nous le savons, normalement, deux parents, quatre grands-parents et huit arrière-grands-parents et ainsi de suite à chaque génération, si nous remontons le temps, le nombre d'ancêtres doubles. Mais cela ne peut pas doubler ainsi indéfiniment et la croissance exponentielle doit s'arrêter à un moment ou à un autre! Si le nombre d'ancêtres double à chaque génération et que nous remontons seulement 2'000 ans en arrière, nous aurions à titre individuel à peu près 1023 ancêtres en considérant que 25 ans pour une génération... Deux mille ans en arrière, ce qui n'est pas si éloigné, et ces ancêtres représenteraient à peu près l'équivalent de la masse totale de la Terre si cette masse n'était fait que de corps humains! La réponse à ce paradoxe apparent est bien sûr qu'il y a énormément (vraiment énormément!) de répétitions dans chaque arbre généalogique (des parents ont plusieurs enfants... et les pères plusieurs femmes... et réciproquement) et que donc nous sommes tous sur une période assez courte cousins...

Nous avons aussi les données actuelles concernant l'évolution la population mondiale passée:

Année

Population mondiale

-100000

0.5 million

-10000

1 à 10 millions

-6500

5 à 10 millions

-5000

5 à 20 millions

-200

150 à 231 millions

1

170 à 400 millions

200

190 à 256 millions

400

190 à 206 millions

500

190 à 206 millions

600

200 à 206 millions

700

207 à 210 millions

800

220 à 224 millions

900

226 à 240 millions

1000

254 à 345 millions

1100

301 à 320 millions

1200

360 à 450 millions

1250

400 à 416 millions

1300

360 à 432 millions

1400

350 à 374 millions

1500

425 à 540 millions

1600

545 à 579 millions

1650

470 à 545 millions

1700

600 à 679 millions

1750

629 à 691 millions

1800

0.813 à 1.125 milliard

1850

1.128 à 1.402 milliard

1900

1.550 à 1.762 milliard

Année

Population mondiale

1910

1.750 milliard

1920

1.860 milliard

1930

2.07 milliards

1940

2.3 milliards

1950

2.519 milliards

1955

2.757 milliards

1960

3.023 milliards

1965

3.337 milliards

1970

3.696 milliards

1975

4.073 milliards

1980

4.442 milliards

1985

4.843 milliards

1990

5.279 milliards

1995

5.692 milliards

2000

6.085 milliards

2005

6.5 milliards

Tableau: 7  - Évolution population mondiale (Wikipedia)

Nous y observons bien une croissance exponentielle pour l'instant... mais quand même pas avec des valeurs correspondant au petit calcul de notre exemple de l'arbre généalogique et ce même en cumulé!


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